すべて1つの多項式

数学において、全1多項式（AOP）とは、すべての係数が1である多項式のことである。位数2の有限体上では、AOPが既約となる条件が知られており、この多項式を用いて、標数2の有限体における乗算のための効率的なアルゴリズムや回路を定義することができる。^{[ 1 ]} AOPは1等間隔多項式である。^{[ 2 ]}

次数mの AOP は、 x ^mからx ⁰までのすべての項の係数が 1 であり、次のように記述できます。

${\displaystyle AOP_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}}$

または

${\displaystyle AOP_{m}(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1}$

または

${\displaystyle AOP_{m}(x)={x^{m+1}-1 \over {x-1}}.}$

したがって、次数mのすべて 1 の多項式の根は、 1 自身を除くすべての ( m + 1)乗根である。

GF(2)上では、AOPは以下のような多くの興味深い特性を持っています。

• AOPのハミング重みはm+1であり、その次数に対して可能な最大値である^{[ 3 ]。}
• AOP は、m + 1 が素数であり 、2 がm + 1を法とする原始根である場合に限り既約である^{[ 1 ]} (素数pを持つ GF( p )上では、 m + 1 が素数であり、p がm + 1 を法とする原始根である場合に限り既約である)
• 原始多項式^である唯一のAOPはx² + x + 1です。

ハミング重みは大きいにもかかわらず、表現の容易さやその他の改善により、符号理論や暗号などの分野では効率的な実装が行われている。^{[ 1 ]}

以上${\displaystyle \mathbb {Q} }$、 m + 1 が素数pであるときはいつでも AOP は既約であり、したがってこれらの場合、p番目の円分多項式はである。^{[ 4 ]}

• PlanetMathにあるすべての 1 つの多項式。