代数マトロイド

数学において、代数マトロイドは、代数的独立性の関係を抽象化して表現するマトロイド、つまり組み合わせ構造です。

体拡大 L / Kが与えられた場合、ゾルンの補題を使用して、 K上のLの最大代数的独立部分集合が常に存在することを示すことができます。さらに、すべての最大代数的独立部分集合は同じ濃度を持ち、これを拡大の 超越次数と呼びます。

Lの要素からなる有限集合Sごとに、 Sの代数的に独立した部分集合は、マトロイドの独立集合を定義する公理を満たす。このマトロイドでは、要素の集合の階数はその超越次数であり、要素の集合Tによって生成される平面は、 Lと体K [ T ]の交差である。^[1] このように生成できるマトロイドは、代数的または代数的に表現可能と呼ばれる。^[2] 代数マトロイドの適切な特徴付けは知られていないが、^[3]特定のマトロイドは非代数的であることが知られている。最小のものはヴァーモスマトロイドである。^{[4] [5]}

多くの有限マトロイドは、体K上の行列で表すことができます。この場合、マトロイド要素は行列の列に対応し、対応する列の集合が線型独立であれば、要素の集合は独立です。体F上のこのタイプの線型表現を持つすべてのマトロイドは、行列の各行に不定値を選択し、各列内の行列係数を使用して各マトロイド要素にこれらの超越量の線型結合を割り当てることにより、F上の代数マトロイドとして表すこともできます。 ^{[6] [7]}特性 0 の体 (実数など) の場合、線型マトロイドと代数マトロイドは一致しますが、他の体では線型ではない代数マトロイドが存在する場合があります。^{[8] [9]}実際、非パップスマトロイドは任意の有限体上では代数的ですが、特性 0 の任意の体上では線型でも代数的でもありません。^[7] しかし、マトロイドが特性ゼロの体F上で代数的である場合、 F上の超越関数Tの有限集合に対してF ( T )上で線型であり、Fの代数閉包上でも線型である。 [ ^{5 ]}

マトロイドが単純拡大 F ( t ) 上で代数的である場合、それはF上で代数的である。したがって、代数的マトロイドのクラスは収縮の下で閉じており、^[10] F上の代数的マトロイドはFの素体上で代数的である。^[11]

代数マトロイドのクラスは、切断とマトロイドの和集合に対して閉じている。^[12]代数マトロイドの双対が常に代数的である かどうかは不明であり^[13]、このクラスの排他的マイナー特徴付けは存在しない。^[12]

マトロイドMの（代数的）特性集合 K ( M )は、 Mが代数的に表現可能な体の可能な特性の集合である。^[7]

• 0がK ( M )​​に含まれる場合、十分に大きい素数はすべてK ( M )に含まれる。^[7]
• すべての素数は、何らかのマトロイドの固有の特性として現れる。^{[7] [14]}
• MがF上代数的であれば、 Mの任意の縮約はF上代数的であり、したがってMの任意の短項もF上代数的である。^[12]

• オクスリー、ジェームズ G. (1992)。マトロイド理論。オックスフォードサイエンス出版。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853563-5.ZBL0784.05002  。​
• ウェルシュ、DJA (2010) [1976].マトロイド理論. クーリエ・ドーバー出版. ISBN 9780486474397。
• ホワイト、ニール編 (1987)、組合せ幾何学、数学とその応用百科事典、第29巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-33339-3、ZBL  0626.00007