二次元フィルター

デジタル信号フィルタリングとは、デジタルフィルタを実装することです。デジタルフィルタは、サンプリングされた離散時間信号に対して数学演算を実行し、その信号の特定の側面を縮小または拡大するシステムです。入力信号と出力信号はすべてデジタル信号です。これは、もう1つの主要なタイプの電子フィルタであるアナログフィルタとは対照的です。アナログフィルタは、連続時間アナログ信号に対して動作する電子回路です。実際には、デジタルフィルタとアナログフィルタの基本概念は同じです。唯一の違いは、信号の種類とフィルタリング方法です。デジタルフィルタはソフトウェアで数値的に実装でき、高い処理精度、安定したシステム、小型軽量といった利点があります。デジタルフィルタにはインピーダンス整合がなく、アナログフィルタでは実現できない特殊なフィルタリング機能を実現できます。アナログ信号は、アナログ-デジタル変換器を使用してデジタルフィルタで処理することもできます。

2 次元フィルタは、2 次元デジタル信号を処理するために使用されます。1 次元と 2 次元のデジタルフィルタの設計問題には重要な違いがあります。1 次元の場合、フィルタの設計と実装はより簡単に別々に考えることができます。フィルタを最初に設計し、次に伝達関数を適切に操作することで、特定のネットワーク構造に必要な係数を決定できます。一方、2 次元の場合、設計と実装はより密接に関連しています。多次元多項式は一般に因数分解できないため、任意の多次元伝達関数は一般に特定の実装に必要な形式に操作できません。実装が因数分解可能な伝達関数のみを実現できる場合、設計アルゴリズムはこのクラスのフィルタのみを設計するように調整する必要があります。これは、設計問題を複雑化させ、実用的な実装の数を制限する効果があります。デジタルフィルタは、有限インパルス応答 ( FIR ) と無限インパルス応答 ( IIR )の 2 つの主要なタイプに分類できます。 2次元FIRデジタルフィルタは非再帰アルゴリズム構造によって実現され、2次元IIRデジタルフィルタは再帰フィードバックアルゴリズム構造によって実現される。^{[ 1 ]}

IIRフィルタは、その差分方程式を並べ替えて、1つの出力サンプルを入力サンプルと以前に計算された出力サンプルで表すことで、直接形式で実装できます。^{[ 2 ]}第1象限フィルタの場合、入力信号は${\displaystyle x\left(n_{1},n_{2}\right)}$そして出力信号${\displaystyle y\left(n_{1},n_{2}\right)}$関係している

${\displaystyle y\left(n_{1},n_{2}\right)=\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})x(n_{1}-l_{1},n_{2}-l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

フィルターのインパルスに対する応答は${\displaystyle \delta (n_{1},n_{2})}$定義上、それはインパルス応答である${\displaystyle h\left(n_{1},n_{2}\right)}$関係式を導き出すことができる

${\displaystyle h\left(n_{1},n_{2}\right)=a(l_{1},l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})h(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

両辺の2次元z変換を行うことで、システム関数を解くことができます。${\displaystyle H\left(z_{1},z_{2}\right)}$これは、

${\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})z_{1}^{-l_{1}}z_{2}^{-l_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}$

この比率は、2 つのフィルタのカスケード接続の結果と見なすことができ、システム関数が等しい FIR フィルタは、${\displaystyle A(z_{1},z_{2})}$システム関数が等しいIIRフィルタ${\displaystyle 1/B(z_{1},z_{2})}$下の図に示すように。^{[ 3 ]}

複雑な2次元IIRフィルタを構築するもう1つの方法は、サブフィルタを並列接続することです。この場合、全体の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})=\sum _{i=1}^{N}H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}$

方程式を使用する

${\displaystyle H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}}$

伝達関数の和を共通分母で割ると、展開形が得られます。

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{j=1}^{N}\prod _{i\neq j}A_{z}^{(j)}(z_{1},z_{2})B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{\prod _{i=1}^{N}B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}}$

並列形式は、任意の 2 次元有理システム関数を実装するために使用することはできません。^{[ 4 ]}それにもかかわらず、並列アーキテクチャで実装できる興味深い 2 次元 IIR フィルタを合成することができます。たとえば、並列形式は、複数の通過帯域を持つフィルタを設計する場合に有利になる場合があります。並列実装は、対称フィルタのように、インパルス応答が単一の象限に限定されない 2 次元IIRフィルタを実装する場合にも役立ちます。

2次元IIRデジタルフィルタの設計手法は数多く報告されている。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} 2013年までに、遺伝的アルゴリズムはデジタルフィルタ設計に約10年間成功裏に使用されてきた。ここでは、GAベースの設計手法と呼ばれる2次元IIRフィルタの設計手法を紹介する。

初期化

下の図は、提案されたGAベースの設計フローを示しています。フィルタ係数はCSD番号表現でエンコードされます。集団の初期化では、染色体がランダムに生成されます。各係数には、事前に指定されたワード長と非ゼロ桁の最大数があり、これらは任意の値に設定できます。^{[ 5 ]}