ウィルフ・ツァイルバーガーペア

数学、特に 組合せ論において 、 ウィルフ・ツァイルバーガー対（Wilf–Zeilberger pair ）または WZ対は、特定の組合せ恒等式を証明するために使用できる 関数の対である 。WZ対はハーバート・S・ウィルフ（Herbert S. Wilf）と ドロン・ツァイルバーガー（Doron Zeilberger）にちなんで名付けられ、 二項係数、階乗、および一般にあらゆる 超幾何級数を含む 多くの和の評価に用いられる 。関数のWZ対応物を使用して、同等ではるかに単純な和を求めることができる。ほとんどの場合、手作業でWZ対を求めるのは非現実的であるが、ゴスパーのアルゴリズムは関数のWZ対応物を求める方法を提供し、 記号操作プログラムで実装することができる。

2 つの 関数 F と GがWZ ペアを形成するのは、次の 2 つの条件が満たされている場合のみです。

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

これらの条件を組み合わせることで、

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

関数Gは 伸縮するので：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

つまり

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)={\text{const}}.}$

定数は nに依存しません。その値は 、特定の n _0にn = n _{0 を}代入することで求められます 。

F と GがWZペアを形成する 場合 、それらは以下の関係を満たす。

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

ここで はnとkの有理関数であり、 WZ 証明証明書と呼ばれます。 ${\displaystyle R(n,k)}$

ウィルフ・ツァイルバーガー対は同一性の検証に使用できる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}={2n \choose n}.}$

単位元を右辺で割ります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}}=1.}$

証明書を使用する

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

左辺が nに依存しないことを確認する。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

ここで、F と G はWilf-Zeilberger ペアを形成します。

恒等式の右辺の定数が 1 であることを証明するには、  たとえば n  = 0を代入します。

• マルコ・ペトコフセク;ハーバート・ウィルフとドロン・ザイルバーガー(1996)。 A=B。 AKピーターズ。ISBN 1-56881-063-6。
• Tefera, Akalu (2010)、「ウィルフ・ツァイルバーガーペアとは何か?」(PDF)、AMS Notices、57 (4): 508–509。

• Almkvist–Zeilberger 法は、定積分を評価するための WZ 法の類似物です。
• 数学的恒等式の一覧

• Gosper のアルゴリズムは、WZ ペアが存在する場合にそれを生成する方法を提供します。
• Generatingfunctionology では、WZ 方式の ID 認証について詳細に説明しています。