ベルヌーイ数の小数部を決定する
数論 において 、 フォン・シュタウト・クラウゼンの定理は、 ベルヌーイ数 の 小数部 を決定する結果であり 、
カール・フォン・シュタウト (1840) と トーマス・クラウゼン (1840) によって独立に発見されました。
具体的には、 n が正の整数で、 p − 1が 2 n を割り切る すべて の 素数 p に対してベルヌーイ数 B 2 n に1/ p を加えると、整数が得られます。つまり、
B
2 ん
+
∑
（ p − 1 ）
|
2 ん
1 p
∈
ず
。
{\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}
この事実から、非ゼロのベルヌーイ数 B 2 n の分母を、 p − 1 が 2 n を割り切るすべての素数 p の積として特徴付けることができます 。したがって、分母は 平方根を持たず 、6 で割り切れます。
これらの分母は
6、30、42、30、66、2730、6、510、798、330、138、2730、6、870、14322、510、6、1919190、6、13530、...（ OEIS の配列 A002445 ）。 整数の列 は
B
2 ん
+
∑
（ p − 1 ）
|
2 ん
1 p
{\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}}
1、1、1、1、1、1、2、-6、56、-528、6193、-86579、1425518、-27298230、...（ OEIS の配列 A000146 ）。
証拠 フォン・シュタウト・クラウゼンの定理の証明は、ベルヌーイ数の明示的な公式から得られます。
B
2 ん
=
∑
じ = 0
2 ん
1
じ + 1
∑
メートル = 0
じ
（ − 1
）
メートル
（
じ メートル
）
メートル
2 ん
{\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}}
そして当然の帰結として:
B
2
n
=
∑
j
=
0
2
n
j
!
j
+
1
(
−
1
)
j
S
(
2
n
,
j
)
{\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)}
ここで S ( n , j )は 第二種スターリング数 である 。
さらに、次の補題も必要です。
pを 素数と
すると、
1 . p – 1 が 2 n を 割り切る 場合、
∑
m
=
0
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
m
2
n
≡
−
1
(
mod
p
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.}
2 . p – 1 が 2 n を 割り切れない 場合、
∑
m
=
0
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
m
2
n
≡
0
(
mod
p
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.}
(1)と(2)の証明: フェルマーの小定理 から 、
m
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
m = 1, 2, ..., p – 1 の場合 。
p – 1が 2 nを 割り切る 場合 、
m
2
n
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}}
m = 1, 2, ..., p – 1 で ある。その後、
∑
m
=
1
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
m
2
n
≡
∑
m
=
1
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
(
mod
p
)
,
{\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},}
そこから直ちに （１） が導かれる。
p – 1が 2 n を 割り切れない 場合 、フェルマーの定理により、
m
2
n
≡
m
2
n
−
(
p
−
1
)
(
mod
p
)
.
{\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.}
℘ = ⌊ 2 n / ( p – 1) ⌋ とすると 、反復処理の後には
m
2
n
≡
m
2
n
−
℘
(
p
−
1
)
(
mod
p
)
{\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}}
m = 1, 2, ..., p – 1 かつ 0 < 2 n – ℘( p – 1) < p – 1 の場合 。
その後、
∑
m
=
0
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
m
2
n
≡
∑
m
=
0
p
−
1
(
−
1
)
m
(
p
−
1
m
)
m
2
n
−
℘
(
p
−
1
)
(
mod
p
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}.}
補題 (2)は、上記と j > n に対して S ( n , j )=0 という事実から導かれる 。
(3) a > 2 かつ b > 2 のとき、 abは ( ab – 1) を割り切る ことは簡単にわかります 。
（４）第２種スターリング数は整数である 。
これで定理を証明する準備が整いました。
j + 1 が合成数で j > 3 の場合 、 (3) より j + 1は j
を 割り切れます 。
j = 3 の場合 、
∑
m
=
0
3
(
−
1
)
m
(
3
m
)
m
2
n
=
3
⋅
2
2
n
−
3
2
n
−
3
≡
0
(
mod
4
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.}
j + 1 が素数であれば、 (1) と (2) を用いて 、 j + 1が合成数であれば、 (3) と (4) を用いて 、
B
2
n
=
I
n
−
∑
(
p
−
1
)
|
2
n
1
p
,
{\displaystyle B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},}
ここで、 I n は 任意の整数である。 [1] [2]
参照
参考文献
^ H. Rademacher, 解析的数論, Springer-Verlag, ニューヨーク, 1973年。 ^ TM Apostol, 解析的数論入門、Springer-Verlag、1976年。 Clausen、Thomas (1840)、「Theorem」、 Astronomische Nachrichten 、 17 (22): 351–352、 doi :10.1002/asna.18400172204 ラドー、R. (1934)、「V. シュタウトの定理の新しい証明」、 J. ロンドン数学協会 、 9 (2): 85–88、 doi :10.1112/jlms/s1-9.2.85 フォン・シュタウト、Ch. (1840)、「Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend」、 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 、 21 : 372–374、 ISSN 0075-4102、 ERAM 021.0672cj
外部リンク 
