ファン・デル・ヴェルデン・テスト

オランダの数学者バーテル・レーンデルト・ファン・デル・ヴェルデンにちなんで名付けられたファン・デル・ヴェルデン検定は、k個の母集団分布関数が等しいことを検定する統計的検定です。ファン・デル・ヴェルデン検定では、標準的なクラスカル・ウォリス検定の順位を標準正規分布の分位数に変換します（詳細は後述）。これらは正規スコアと呼ばれ、検定はこの正規スコアから計算されます。

k母集団版の検定は、 Van der Waerden (1952,1953) によって発表された 2 つの母集団に対する検定の拡張版である。

分散分析(ANOVA) は、多因子モデルにおける因子 (独立変数) の有意性を調べるためのデータ分析手法です。1 因子モデルは、2 標本 t 検定の一般化と考えることができます。つまり、2 標本 t 検定は、2 つの母平均が等しいという仮説を検定します。1 因子 ANOVA は、k個の母平均が等しいという仮説を検定します。標準的な ANOVA は、誤差 (つまり残差) が正規分布に従うことを前提としています。この正規性の前提が有効でない場合は、ノンパラメトリック検定を使用するという代替手段があります。

n _j ( j = 1, 2, ..., k )は、データ内のk 個のグループ (つまりサンプル) それぞれのサンプルサイズを表すものとします。Nは、すべてのグループのサンプルサイズを表します。X _ijは、 j^番目のグループのi^番目の値を表します。正規スコアは次のように計算されます。

${\displaystyle A_{ij}=\Phi ^{-1}\left({\frac {R(X_{ij})}{N+1}}\right)}$

ここで、R ( X _ij )は観測値X _ijの順位を表し、Φ ⁻¹は正規分位関数を表します。各サンプルの正規スコアの平均は次のように計算できます。

${\displaystyle {\bar {A}}_{j}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}\quad j=1,2,\ldots ,k}$

正規スコアの分散は次のように計算できます。

$\displaystyle s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}^{2}}$

ファン・デル・ヴェルデン検定は、次のように定義できる。

H₀ _：k個の母集団分布関数はすべて同じ観測値をもたらす傾向がある

H _a：少なくとも1つの母集団は、他の少なくとも1つの母集団よりも大きな観測値を生み出す傾向がある。

検定統計量は

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{s^{2}}}\sum _{j=1}^{k}n_{j}{\bar {A}}_{j}^{2}}$

有意水準αの場合、棄却域は

$${\displaystyle T_{1}>\chi _{\alpha ,k-1}^{2}}$$

ここで、Χ _{α,k − 1} ^{2は、自由度}k − 1のカイ二乗分布のα分位数です。検定統計量が棄却域にある場合、帰無仮説は棄却されます。分布が同一であるという仮説が棄却された場合、多重比較法を実行して、どの母集団のペアが異なる傾向があるかを判断することができます。次の不等式が満たされる場合、母集団j ₁とj ₂は異なると考えられます。

${\displaystyle \left\vert {\bar {A}}_{j_{1}}-{\bar {A}}_{j_{2}}\right\vert >s\,t_{1-\alpha /2}{\sqrt {\frac {N-1-T_{1}}{Nk}}}{\sqrt {{\frac {1}{n_{j_{1}}}}+{\frac {1}{n_{j_{2}}}}}}}}$

t _{1 − α/2}はt 分布の(1 − α/2)-分位点です。

1因子モデルで最も一般的なノンパラメトリック検定は、クラスカル・ウォリス検定です。クラスカル・ウォリス検定は、データの順位に基づいています。ファン・デル・ヴェルデン検定の利点は、正規性の仮定が満たされている場合は標準的なANOVA分析と同等の高い効率性を提供するだけでなく、正規性の仮定が満たされていない場合でもクラスカル・ウォリス検定と同等の頑健性を提供する点です。

• Conover, WJ (1999).実践的ノンパラメトリック統計学（第3 版）. Wiley. pp. 396–406 . 

• van der Waerden, BL (1952). 「2標本問題に対する順序検定とその検出力」Indagationes Mathematicae、14、453 – 458。
• ファン・デル・ワールデン、BL（1953年）。 「2 サンプル問題の順序テスト。II、III」、Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen の議事録、Serie A、564、303 – 310、311 – 316。

 この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。