乱流プラントル数

乱流プラントル数( Pr _t ) は、運動量渦拡散率と熱伝達渦拡散率の比として定義される無次元項です。乱流境界層流れの熱伝達問題を解くのに役立ちます。Pr _{tの最も単純なモデルは}レイノルズ類推で、乱流プラントル数は 1 になります。実験データによると、Pr _{tの平均値は 0.85 ですが、問題の流体の}プラントル数に応じて 0.7 から 0.9 の範囲になります。

渦拡散率とそれに続く乱流プラントル数の導入は、乱流中に存在する余分なせん断応力と熱流束との間の単純な関係を定義する方法として機能します。運動量と熱の渦拡散率がゼロ（見かけの乱流せん断応力と熱流束がない）の場合、乱流方程式は層流方程式に簡約されます。運動量伝達と熱伝達の渦拡散率は次のように定義できます。ここで、は見かけの乱流せん断応力、は見かけの乱流熱流束です。乱流プラントル数は次のように定義されます。${\displaystyle \varepsilon _{M}}$${\displaystyle \varepsilon _{H}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.}$

乱流プラントル数は、一般的には1と等しくないことが示されています（例：Malhotra and Kang、1984年、Kays、1994年、McEligot and Taylor、1996年、Churchill、2002年）。これは、他のパラメータの中でも分子プラントル数の強い関数であり、Malhotra and Kang [1]によって決定され、McEligot and Taylor ^[2]およびChurchill ^{[3]によって詳しく説明されているように、分子プラントル数が1から大幅に異なる場合、レイノルズアナロジーは適用できません。}

乱流運動量境界層方程式：乱流熱境界層方程式、 運動量方程式と熱方程式に渦拡散率を代入すると次の式が得られます。乱流プラントル数の定義を使用して熱方程式に代入すると次の式が得られます。
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).}$
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

プラントル数と乱流プラントル数が両方とも 1 に等しい特殊なケース(レイノルズの例えのように) では、速度プロファイルと温度プロファイルは同一です。これにより、熱伝達問題の解決が大幅に簡素化されます。プラントル数と乱流プラントル数が 1 と異なる場合は、乱流プラントル数を知ることで解決が可能になり、運動量方程式と熱方程式を解くことができます。

一般的な3次元乱流の場合、渦粘性や渦拡散の概念は当てはまらない。したがって、乱流プラントル数は意味を持たない。 ^[4]

• ケイズ、ウィリアム、クロフォード、M.、ワイガンド、B. (2005)。対流熱と質量伝達、第 4 版。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-246876-2。