ツィレルソンの束縛

ツィレルソン限界とは、遠距離の事象間の量子力学的相関の上限値です。量子力学はベル不等式に違反する（つまり、局所隠れ変数理論では記述できない）ため、違反がどの程度まで許容されるのかという疑問が生じます。その答えは、まさに問題となっている特定のベル不等式に対するツィレルソン限界です。一般に、この限界は、「信号非伝達」（つまり、光速を超える通信を許容しない）という制約のみを持つ、より一般的な理論を考慮した場合に得られる限界よりも低く、なぜそうなるのかという疑問に多くの研究が費やされてきました。

ツィレルソン境界は、最初にそれを導き出したボリス・S・ツィレルソン（または別の音訳ではシレルソン）にちなんで名付けられました。^{[ 1 ]}

最初のツィレルソン境界は、 CHSH不等式で測定される相関の上限として導出されました。これは、4つの（エルミート）二値観測量がある場合、${\displaystyle A_{0}}$、${\displaystyle A_{1}}$、${\displaystyle B_{0}}$、${\displaystyle B_{1}}$（つまり、アリスの観測値2つとボブの観測値2つ）結果${\displaystyle +1,-1}$そのため${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$すべての人々のために${\displaystyle i,j}$、 それから

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}。}$

比較のために、古典的なケース（または局所的な現実的なケース）では上限は 2 ですが、任意の割り当ての場合、${\displaystyle +1,-1}$許容される場合、それは 4 です。アリスとボブがそれぞれ量子ビットで測定を行う場合、最も単純な非自明な量子システムでは、すでにツィレルソン限界が達成されます。

この限界の証明はいくつか存在するが、おそらく最も分かりやすいのは、カルフィン・ツィレルソン・ランダウの恒等式に基づくものである。観測量を定義すると、

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

そして${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$つまり、観測可能な結果が${\displaystyle +1,-1}$、 それから

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

もし${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$または${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$これは古典的なケースと見なすことができ、すでに次のことが導かれる。${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$量子の場合、次の点に留意するだけでよい。$\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$そしてツィレルソンは${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$続く。

ツィレルソンはまた、アリスの入力がm 、ボブの入力がnである任意の二部グラフ完全相関ベル不等式に対して、ツィレルソン境界と局所境界の比は最大で ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$ どこ ${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$ そして${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$はd次グロタンディーク定数である。^{[ 2 ]}なので、${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$この境界は、CHSH不等式に関する上記の結果を意味する。

一般に、与えられたベル不等式に対するツィレルソン境界を求めることは、ケースバイケースで解決しなければならない難問である。決定可能であることさえ知られていない。その上限を求めるための最もよく知られた計算方法は、収束する半正定値計画の階層、NPA階層であり、一般に停止しない。^{[ 3 ] [ 4 ]}いくつかのベル不等式については、正確な値が知られている。

ブラウンシュタイン・ケイブスの不等式については、次のようになる。

$\displaystyle \langle BC_n\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

WWŻB不等式の場合、ツィレルソン限界は

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

のために${\displaystyle I_{3322}}$不等式^{[ 5 ]}ツィレルソン境界は正確には知られていないが、具体的な実現により下限が与えられる。0.250 875 384 514、^{[ 6 ]} NPA階層は上限値を与える0.250 875 384 513 9766。^{[ 7 ]}無限次元の量子状態のみがツィレルソン限界に到達できると推測されている。

量子相関がツィレルソン限界までしか伸びず、それ以上伸びない理由を説明する物理的原理を見つけるために、多くの研究が行われてきました。そのような原理は3つ見つかっています。非局所計算に利点がないこと^{[ 8 ]} 、情報因果律^{[ 9 ] 、巨視的局所性[ 10 ]}です。つまり、ツィレルソン限界を超えるCHSH相関を実現できれば、これらの原理はすべて破られることになります。ベル実験が強い正の量子測度を許容する場合にも、ツィレルソン限界が成り立ちます^{[ 11 ] 。}

ベル式のツィレルソン限界を定義する方法は2つあります。1つは測定値がテンソル積構造にあることを要求し、もう1つは測定値が可換であることだけを要求する方法です。ツィレルソンの問題は、これら2つの定義が同等かどうかという問題です。より厳密に言うと、

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

ベル式である。${\displaystyle p(ab|xy)}$結果を得る確率${\displaystyle a,b}$設定により${\displaystyle x,y}$テンソル積ツィレルソン境界は、測定を行うことでこのベル式で得られる値の上限となる。${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$そして${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$量子状態において$\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$:

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

可換ツィレルソン限界は、測定を行うことでこのベル式で得られる値の上限である。${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$そして${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$そのため${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$量子状態において${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

特にテンソル積代数は可換であるため、${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$有限次元では可換代数は常に（直和の）テンソル積代数と同型であるため、^{[ 12 ]}無限次元の場合にのみ、${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$ツィレルソンの問題は、すべてのベル式について${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$。

この問題は1993年にボリス・ツィレルソンによって初めて検討され、彼は証明なしに次のように主張した。${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$[ ^{13 ]} 2006年にアントニオ・アシンから証明を求められた際、彼は自分が考えていた証明がうまくいかないことに気づき、この問題を未解決問題として提起した。^{[ 14 ]}アシン、ミゲル^・ナバスキュエス、ステファノ・ピロニオは、非可換変数に二乗和階層を一般化した半正定値計画の階層を開発し、それが可換ツィレルソン境界に収束することを明らかにした。${\displaystyle T_{c}}$上から、^{[ 4 ]}テンソル積ツィレルソン境界にも収束するかどうかを知りたいと思った。${\displaystyle T_{t}}$物理的に最も関連性の高いもの。

収束する近似のシーケンスを生成することができるので${\displaystyle T_{t}}$有限次元の状態と観測量を考慮して下から考えると、${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$、この手順をNPA階層と組み合わせることで、ツィレルソン境界を計算する停止アルゴリズムが生成され、計算可能な数値になります（ただし、単独ではどちらの手順も一般的に停止しません）。逆に、${\displaystyle T_{t}}$計算できない場合は、${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$2020年1月、Ji、Natarajan、Vidick、Wright、およびYuenは、${\displaystyle T_{t}}$は計算不可能であるため、ツィレルソンの問題は否定的に解決される。^{[ 15 ]}ツィレルソンの問題はコーンの埋め込み問題と同等であることが示されており、^{[ 16 ]}同じ証明はコーンの埋め込み問題が偽であることも意味する。^{[ 17 ]}

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