ツィレルソンの境界

ツィレルソン境界は、離れたイベント間の量子力学的相関の上限です。量子力学はベル不等式に違反する (つまり、局所的な隠れた変数理論では記述できない) ため、違反はどの程度まで大きくなる可能性があるのか​​、という自然な疑問が生じます。その答えは、まさに問題の特定のベル不等式に対するツィレルソン境界です。一般に、この境界は、より一般的な理論 (「信号なし」 (つまり、光より速い通信を許可しない) のみで制約される) を考慮した場合に得られる境界よりも低く、なぜそうなるのかという疑問について多くの研究が行われてきました。

ツィレルソン境界は、最初の境界が導かれた 論文^[1]の著者であるボリス・S・ツィレルソン（または別の音訳ではチレルソン）にちなんで名付けられました。

最初のツィレルソン境界は、 CHSH不等式で測定された相関の上限として導出された。これは、4つの（エルミート）二分観測量、、、（すなわち、アリスの観測量が2つ、ボブの観測量が2つ）があり、すべての に対して、 となる結果を持つ場合 、${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle +1,-1}$${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{ 1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.}$

比較すると、古典的な場合（または局所的に現実的な場合）では上限は 2 ですが、 の任意の割り当てが許される場合は4 になります。アリスとボブがそれぞれ量子ビット（最も単純で非自明な量子システム） を測定すると、ツィレルソンの境界はすでに達成されます。${\displaystyle +1,-1}$

この限界の証明はいくつかあるが、おそらく最もわかりやすいのはカルフィン・ツィレルソン・ランダウ恒等式に基づくものである。観測可能な

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},}$

そして、つまり、観測可能な結果が であれば、 ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$${\displaystyle +1,-1}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].}$

または の場合、これは古典的なケースとみなすことができますが、 がすでに成り立ちます。量子的なケースでは、 にのみ注意すればよく、ツィレルソン境界が成り立ちます。 ${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$

ツィレルソンはまた、アリスにm入力、ボブにn入力の任意の2部完全相関ベル不等式について、ツィレルソン境界と局所境界の比は最大で であり 、 はdオーダーのグロタンディーク定数であることを示した。^[2]であるため、この境界はCHSH不等式に関する上記の結果を意味することに留意されたい。 ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),}$${\displaystyle r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},}$${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(d)}$${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}}$

一般に、与えられたベル不等式に対するツィレルソン境界を得ることは難しい問題であり、ケースバイケースで解決しなければならない。決定可能であるかどうかさえわかっていない。その上限を求める最もよく知られた計算方法は、一般に停止しない半正定値計画の収束階層、NPA階層である。 ^{[3] [4]}正確な値は、さらにいくつかのベル不等式で知られている。

ブラウンシュタイン・ケーブスの不等式については、

${\displaystyle \langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

WWŻB不等式の場合、ツィレルソン境界は

${\displaystyle \langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.}$

不等式^[5]のツィレルソン境界は正確には分かっていないが、具体的な実現では下限値は${\displaystyle I_{3322}}$0.250 875 384 514、^[6] NPA階層では上限が0.250 875 384 513 9766 . ^[7]無限次元の量子状態のみがツィレルソン限界に到達できると推測されている。

量子相関がツィレルソン限界までしか上がらない理由を説明する物理的原理を見つけるために、重要な研究が行われた。そのような原理は3つ見つかっている。非局所的計算の利点なし、^[8] 情報因果性^{[9]およびマクロ的局所性[10]}である。つまり、ツィレルソン限界を超えるCHSH相関を達成できれば、そのような原理はすべて破られることになる。ツィレルソン限界は、ベル実験が強い正の量子測度を許容する場合にも従う。^[11]

ベル式のツィレルソン境界を定義するには2つの方法があります。1つは測定値がテンソル積構造にあることを要求する方法で、もう1つは測定値が可換であることのみを要求する方法です。ツィレルソンの問題は、これら2つの定義が同等であるかどうかという問題です。より正式には、

${\displaystyle B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)}$

はベル表現式であり、 は設定 で結果を得る確率です。テンソル積のツィレルソン境界は、量子状態 で測定とを行うことによってこのベル表現式で達成される値の上限です。 ${\displaystyle p(ab|xy)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}}$${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

可換なツィレルソン境界は、量子状態 に対して測定およびを行うことによってこのベル式で達成される値の上限です。 ${\displaystyle A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$${\displaystyle B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0}$${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .}$

特にテンソル積代数は可換なので、。有限次元では可換代数は常にテンソル積代数（の直和）と同型なので、^[12]無限次元の場合のみ が成り立つ可能性がある。ツィレルソンの問題は、すべてのベル表現に対して が成り立つかどうかという問題である。 ${\displaystyle T_{t}\leq T_{c}}$${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$

この問題は1993年にボリス・ツィレルソンによって初めて検討され、彼は証明なしに と主張した。^{[13] 2006年に}アントニオ・アシンから証明を求められた彼は、自分が考えていた証明がうまくいかないことに気づき、この問題を未解決問題として発表した。^[14]アントニオ・アシンはミゲル・ナバスクエスとステファノ・ピロニオとともに、上から可換ツィレルソン境界に収束する半正定値計画の階層であるNPA階層を開発し、^[4]これが物理的に最も関連性の高いテンソル積ツィレルソン境界 にも収束するかどうかを知りたいと考えていた。 ${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle T_{t}}$

有限次元の状態と観測量を考慮することで、下からへの近似値の収束シーケンスを作成できるため、 の場合、この手順を NPA 階層と組み合わせると、Tsirelson 境界を計算する停止アルゴリズムを作成して、それを計算可能な数にすることができます(単独では、どちらの手順も一般に停止しないことに注意してください)。逆に、が計算可能でない場合は です。2020 年 1 月、Ji、Natarajan、Vidick、Wright、および Yuen は、 が計算可能でないことを証明したと主張し、Tsirelson の問題を否定的に解決しました。^{[15] Tsirelson の問題は}Connes の埋め込み問題と同等であることが示されており、^[16]同じ証明から Connes の埋め込み問題が偽であることも示唆されます。^[17]${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle T_{t}=T_{c}}$${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle T_{t}\neq T_{c}}$${\displaystyle T_{t}}$

• 量子非局所性
• ベルの定理
• EPRパラドックス
• CHSH不平等
• 量子疑似テレパシー