転送長さ法

伝達長さ法または「伝送線路モデル」（どちらもTLMと略される）は、半導体 物理学および工学において金属と半導体間の特定の接触抵抗率を決定するために使用される手法である。 ^{[1] [2] [3] TLMは、}マイクロエレクトロニクスにおける進行中のデバイス縮小により、デバイス内の金属-半導体界面における接触抵抗の相対的寄与が無視できなくなり、特定の接触抵抗率を決定するための正確な測定方法が必要になったために開発された。^[4]

伝達長さ法（TLM）の目的は、金属半導体接合の特定の接触抵抗率を決定することです。金属半導体接合を作成するには、半導体基板の表面に金属膜を堆積します。TLMは通常、金属半導体接合がオーム挙動を示す場合に特定の接触抵抗率を決定するために使用されます。この場合、接触抵抗率は、堆積された金属と半導体基板の間の界面層を横切る電圧差を、電流密度で割ったものとして定義できます。電流密度は、電流を電流が通過する界面面積で割ったものとして定義されます。^[5]${\displaystyle \rho_{C}}$${\displaystyle \rho_{C}}$${\displaystyle \デルタV}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho _{C}={\frac {\Delta V}{J}}={\frac {(V_{半導体}-V_{金属})A}{I}}}$

この定義では、比接触抵抗率は金属-半導体界面層のすぐ下の電圧値を指し、 は金属-半導体界面層のすぐ上の電圧値を表します。TLM測定を実行するには2つの異なる方法があり、どちらもこのセクションの残りの部分で紹介されています。1つはジャストトランスファーレングス法と呼ばれ、もう1つは円形トランスファーレングス法（c-TLM）と呼ばれます。^[1]${\displaystyle V_{半導体}}$${\displaystyle V_{金属}}$

特定の接触抵抗を決定するために、右の図に示すように、半導体基板の表面に長方形の金属パッドの配列を堆積します。長方形のパッドの定義はフォトリソグラフィーを利用して行うことができ、金属の堆積はスパッタ堆積、熱蒸発、または無電解堆積で行うことができます。^{[6] [7]}${\displaystyle \rho_{C}}$

右の画像では、パッド間の距離は下から上に向かって増加しています。したがって、隣接するパッド間の抵抗を測定すると、金属パッドの描写の下のグラフに示されているように、総抵抗もそれに応じて増加します。このグラフでは、横軸は2 つの隣接する金属パッド間の距離を表し、円は測定された抵抗値を表します。総抵抗率は、覆われていない半導体基板による成分と、2 つの金属で覆われた領域の電圧降下に対応する成分に分けることができます。前者の成分は式 で表すことができますが、 は半導体基板のシート抵抗と金属パッドの幅を表します。総抵抗に寄与するもう 1 つの成分は で示されます。これは、2 つの隣接するパッドを特性評価する場合、2 つの同一の金属化領域を考慮する必要があるためです。つまり、総抵抗は、パッド距離を独立変数として、次の関数形式で表すことができます。 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle {\frac {R_{S}}{Z}}d_{i}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 2R_{C}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{Z}}d+2R_{C}}$

金属層自体の寄与を無視すると、金属-半導体界面およびその下の半導体基板での電圧降下によって が発生します。これは、総抵抗測定中に、金属領域で電圧が指数関数的に低下することを意味します (したがって、電流密度も低下します) (詳細については、理論セクションも参照)。^[8]この論文の次のセクションで導き出されるように、金属パッドの下の電圧降下の大部分は、転送長 として定義される長さ内で発生します。^{[1] [4] [8]}物理的に言えば、これは、金属-半導体界面を介して電流が金属に入る金属接点の下の領域の主要部分が、転送長にパッドの幅を乗じた値で与えられることを意味します。 この状況は、このセクションの図にも示されており、抵抗測定中の 2 つの隣接する金属パッドの下の電流密度分布が緑色で示されています。 全体として、これは (金属パッドの長さが転送長よりもはるかに長い場合) と の関係が次のように表されることを意味します。^{[3] [4]}${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}}$${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle \rho_{C}}$

${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\rho _{C}}{ZL_{T}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$

はデータ ポイントを通る線形近似から抽出でき、線形近似の y 切片から取得できるため、 の推定が可能です。 ${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle \rho_{C}}$

上で説明した元のTLM法には、電流が倍で与えられる領域内を流れるわけではないという欠点があります。つまり、電流密度分布はTLMセクションの図にある金属パッドの垂直側面にも広がりますが、この現象は を説明する式の導出では考慮されていません。^{[4] [1]}この幾何学的な問題を考慮するために、長方形の金属パッドの代わりに、半径のある円形パッドが使用され、これはホロヘドロン金属コーティングから一定の距離を置いて配置されています（右の図を参照）。円形パッドとホロヘドロンコーティング間の全抵抗を測定すると、ギャップ抵抗と、ギャップ領域の内側と外側の端での接触抵抗（および）という3つの区別できる要素が測定値に寄与します。これは次の式で表されます。 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle d=r_{o}-r_{i}}$${\displaystyle R_{ギャップ}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{o}}$

${\displaystyle R_{Tot}=R_{Gap}+R_{i}+R_{o}}$

理論セクションで導出されるように、が よりはるかに大きい限り、実験データからを抽出できる の式が得られます。 ${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle \rho_{C}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle L_{T}}$

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$

TLM法と同様に、およびのデータペアを利用した多重線形回帰分析によって得ることができる。^[1]${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle \rho_{C}}$${\displaystyle R_{Tot}(d)}$${\displaystyle d}$

前のセクションでは TLM の基本原理を紹介しましたが、ここでは理論的背景についてさらに詳しく説明します。ここでの主な目的は、測定可能な量とTLM で決定しようとしている特定の接触抵抗率を関連付ける式を見つけることです。したがって、右側の図には、隣接する 2 つの金属パッド間に電圧が印加されたときの状況を説明する抵抗ネットワークが示されています。中央の抵抗 ( ) は金属で覆われていない部分を考慮し、残りは金属パッドの状況を説明します。水平抵抗要素 ( ) は半導体基板による抵抗を表し、垂直抵抗要素 ( ) は金属 - 半導体界面層による抵抗を考慮します。この説明では、水平抵抗要素と垂直抵抗要素のペアが、金属パッド領域の長さの体積要素内の状況を説明します。この方法論は、伝送線路の動作を説明するために使用される電信方程式の導出にも使用されます。この類似性のため、この記事で説明されている測定技術は、伝送線路法と呼ばれることがよくあります。^[1]${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle \rho_{C}}$${\displaystyle {\frac {R_{S}d_{i}}{Z}}}$${\displaystyle {\frac {R_{S}\Delta x}{Z}}}$${\displaystyle {\frac {\rho _{C}}{Z\Delta x}}}$${\displaystyle \Delta x}$

キルヒホッフの回路法則を使用すると、電圧と電流の両方が時間の関数ではない定常状態の場合、上記で考慮した長さ要素（このセクションの図の四角を参照）内の電圧と電流について次の式が得られます。

${\displaystyle V(x)={\frac {R_{S}\Delta xI(x)}{Z}}+V(x+\Delta x)}$

${\displaystyle I(x)={\frac {Z\Delta xV(x)}{\rho _{C}}}+I(x+\Delta x)}$

極限をとると次の2つの微分方程式が得られる: ^[9]${\displaystyle \Delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {Z}{\rho _{C}}}V(x)}$

これら 2 つの結合した微分方程式は、一方を に関して微分し、もう一方を代入することで分離できます。こうすることで、最終的に互いに依存しない 2 つの微分方程式が得られます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V2}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}I(x)}$

両方の微分方程式は、の形の解を持ちます。ここで、 および は、適切な境界条件を使用して決定する必要がある定数であり、 は、前に定義された転送長さ の逆数で与えられます。 金属パッド領域の始まりの電圧と電流をそれぞれ およびと定義することにより、2 つの境界条件を取得できます。正式には、これは、このセクションの図の設定を使用するとき、 および であることを意味します。 上記の 1 組の結合微分方程式を使用すると、さらに 2 つの境界条件、つまり および が得られます。最終的に、電圧と電流を距離の関数として記述する 2 つの方程式が、指定された 4 つの境界条件を使用して得られます。^[4]${\displaystyle f(x)=Acosh(\alpha x)+Bsinh(\alpha x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\sqrt {R_{S}/\rho _{C}}}}$${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle V(x=0)=V_{0}}$${\displaystyle I(x=0)=I_{0}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}I_{0}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x=0)}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {R_{S}}{Z}}V_{0}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x)=V_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {I_{0}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}{Z}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

${\displaystyle I(x)=I_{O}\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}-{\frac {V_{0}Z}{\sqrt {R_{s}\rho _{C}}}}\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}x\right)}}$

測定を行う際、各金属パッドの反対側の端には電流が流れていないと仮定することができ、これは次のことを意味します。これにより、関係式を使用して電圧を表す式をさらに改良することができます。 ${\displaystyle I(x=w)=0}$ ${\displaystyle \sinh(x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y}$

${\displaystyle V(x)={\frac {I_{O}{\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}(w-x)\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}}$

最後の式は、金属パッドで覆われた領域全体の電圧降下を表します（このセクションの図と比較してください）。抵抗値はで表すことができ、最後の式に を設定することで、特定の接触抵抗率に関連する式を見つけることができます。 ${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle {\frac {V_{0}}{I_{0}}}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle R_{C}={\frac {V_{0}}{I_{0}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}{\frac {\cosh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}{\sinh {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}}={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}\coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$

最後の方程式では、実験データを利用して を計算することができます。が増加するにつれて は 1 に近づき、 は転送長よりも大幅に大きくなるため、厳密に導出された等式の代わりに推定値がよく使用されます。 これは、一般的な説明のセクションで述べたことと同じです。^{[3] [8] [4]}要約すると、金属パッドの領域での距離の関数としての電圧と電流は、電信方程式に似たモデルを使用して導出されています。 これにより、実験的に見つかった量と、および金属パッドの幅を使用して、金属半導体接合部の特定の接触抵抗率を計算できる式を見つけることができました。 ${\displaystyle \rho _{C}}$${\displaystyle \coth {\left({\sqrt {\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}}w\right)}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L_{T}={\sqrt {\frac {\rho _{C}}{R_{S}}}}}$${\displaystyle R_{C}\approx {\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{Z}}}$${\displaystyle \rho _{C}}$${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle Z}$

c-TLM 法の微分方程式を導出する物理的な考え方は TLM と同じですが、直交座標の代わりに極座標が使用されます。これにより、右の図に示すように、金属で覆われた領域を表す抵抗器ネットワークが変更されます。TLM の場合と同様に、キルヒホッフの回路法則を使用すると、2 つの結合された微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {R_{S}}{2\pi r}}I(r)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} r}}=-{\frac {2\pi r}{\rho _{C}}}V(r)}$

電流を除去すると、電圧の別の式が得られる：^[10]${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}-{\frac {R_{S}}{\rho _{C}}}V=0}$

このタイプの微分方程式の一般解は次のように与えられ、ここで、およびは不特定の定数であり、である。関数およびはそれぞれ第1種および第2種のゼロ次修正ベッセル関数である。 ^[11]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt {R_{C}/\rho _{C}}}}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle V(r)=AI_{0}(\alpha r)+BK_{0}(\alpha r)}$

上記の連立微分方程式と修正ベッセル関数( , ) ^[11]の微分規則を利用すると、電流の式が得られます。関数と関数は、それぞれ第1種および第2種の第1次ベッセル関数です。 ${\displaystyle I_{0}'(x)=I_{1}(x)}$${\displaystyle K_{0}'(x)=-K_{1}(x)}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle I(r)=-{\frac {2\pi r}{R_{S}}}\left[A\alpha I_{1}(\alpha r)-B\alpha K_{1}(\alpha r)\right]}$

電流と電圧の式が得られたら、ギャップ領域の内側境界と外側境界に対応する接触抵抗の式を見つける必要があります (一般セクションの測定金属化の概略図と比較してください)。内側境界での接触抵抗は で与えられ、測定中は円形金属パッドの中央の電流はゼロ ( ) です。 がゼロに近づくと修正ベッセル関数は無限大に近づくため(右の図を参照)、電圧は無限大にはならないため定数はゼロでなければなりません。これを考慮すると、ギャップ領域の内側境界での接触抵抗は次の式に等しくなります。 ${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}}$${\displaystyle I(r=0)=0}$${\displaystyle K_{0}(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{i}={\frac {V(r_{i})}{|I(r_{i})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{i}\alpha }}{\frac {I_{0}(\alpha r_{i})}{I_{1}(\alpha r_{i})}}}$

同様に、ギャップ領域の外側境界における接触抵抗の式は、を に置き換えると得られます(一般セクションの図と比較してください)。ここで、電流の境界条件も と与えられます。これは、関数が無限大に向かうにつれて無限大に向かうため (右の図を参照)、 A がゼロでなければならないことを意味します。つまり、ギャップ領域の外側境界における接触抵抗は次のように表されます。 ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{o}}$${\displaystyle I(r=\infty )=0}$${\displaystyle I_{0}(r)}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle R_{o}={\frac {V(r_{o})}{|I(r_{o})|}}={\frac {R_{S}}{2\pi r_{o}\alpha }}{\frac {K_{0}(\alpha r_{o})}{K_{1}(\alpha r_{o})}}}$

ギャップ領域自体による抵抗は、このセクションの図の水平微分抵抗を考慮し、 からまでを積分することで求めることができます。 、 、を加えると、総抵抗の式が得られます。 ${\displaystyle R_{Gap}}$${\displaystyle {\frac {R_{S}dr}{2\pi r}}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{o}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{o}}$${\displaystyle R_{Gap}}$

${\displaystyle R_{Tot}={\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[ln\left({\frac {r_{o}}{r_{i}}}\right)+{\frac {L_{T}}{r_{i}}}{\frac {I_{0}(r_{i}/L_{T})}{I_{1}(r_{i}/L_{T})}}+{\frac {L_{T}}{r_{o}}}{\frac {K_{0}(r_{o}/L_{T})}{K_{1}(r_{o}/L_{T})}}\right]}$

外側の半径と内側の半径が転送長よりもはるかに大きい場合、修正ベッセル関数の商はほぼ1になります。^[1]これは、を一般的なセクションで与えられたのと同じ式に置き換えると、実験データから とを抽出するために使用できることを意味します。${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{o}-d}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle \rho _{C}}$

${\displaystyle R_{Tot}\approx {\frac {R_{S}}{2\pi }}\left[\ln \left({\frac {r_{o}}{r_{o}-d}}\right)+L_{T}\left({\frac {1}{r_{o}-d}}+{\frac {1}{r_{o}}}\right)\right]}$

このセクションでは、c-TLM 測定の実際の例を示します。フォトリソグラフィーとスパッタ堆積を利用して、金属 c-TLM パッドを半導体薄膜の表面に堆積しました。c-TLM パッドのギャップ間隔は 20 μm ～ 200 μm の範囲で、ステップ サイズは 20 μm を選択しました。各 c-TLM パッドに対応する総抵抗の値を取得するために、各ギャップ間隔にわたって電流電圧測定を実行しました。左側のプロットは記録された測定データを示しており、緑色の矢印はギャップ長の増加を示しています。曲線は直線であり (これは金属と半導体層の間にオーム接触があることを証明しています)、各 c-TLM パッドの総抵抗の値は傾きの逆数を取ることで得られます。

、および特定の接触抵抗率を抽出するために、全抵抗について得られた式は、、、およびを使用して次のように書き直されます。 ${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle \rho _{C}}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle A={\frac {R_{S}}{2\pi }}}$${\displaystyle g(d)=ln({\frac {r_{i}+d}{r_{i}}})}$${\displaystyle B={\frac {\sqrt {R_{S}\rho _{C}}}{2\pi }}}$${\displaystyle h(d)={\frac {1}{r_{i}}}+{\frac {1}{r_{i}+d}}}$

${\displaystyle R_{Tot}(d)=Ag(d)+Bh(d)}$。

この書き直しは、表記を簡潔にするためと、この特定の例では各 c-TLM パッドの内径が一定に保たれているために行われました。 の測定が 10 回実行され、それぞれが異なるギャップ長に対応しているため、行列ベクトル形式で記述できる線形方程式のシステムを取得できます。 ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle R_{Tot}}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(d_{1})\\R(d_{2})\\\vdots \\R(d_{10})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g(d_{1})&h(d_{1})\\g(d_{2})&h(d_{1})\\\vdots &\vdots \\g(d_{10})&h(d_{10})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon (d_{1})\\\epsilon (d_{2})\\\vdots \\\epsilon (d_{10})\end{bmatrix}}}$

左側のベクトルには抵抗測定からの値が含まれており、それらはすべて測定誤差を示しています。したがって、測定誤差ベクトルが行列ベクトル積に追加されます。先に進む前に、行列ベクトル方程式をよりコンパクトな形式で記述します。 ${\displaystyle R(d_{i})}$${\displaystyle \epsilon (d_{i})}$

${\displaystyle \mathbf {R} =X{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}+\mathbf {E} }$

目標は、誤差ベクトルのユークリッドノルムが最小となるような との値を見つけることです。この前提では、誤差ベクトルはの列空間に正規化される必要があり、これは を意味します。^[12]これは、行列ベクトル方程式を の転置行列と乗算すると次の式が得られることを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle X^{T}\mathbf {E} =\mathbf {0} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={(X^{T}X)}^{-1}X^{T}\mathbf {R} }$。

のすべての成分は計算可能であり、 の成分は抵抗測定によって提供されるため、係数および を計算できます。最後に、2 つの係数から、 、および特定の接触抵抗率の値も計算できます。左側のプロットは、ギャップ長に依存した測定抵抗値と、決定された係数およびに対応するフィッティング関数を示しています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle \rho _{C}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

次のGNU Octaveスクリプトは、実行された一連の測定に対応しており、得られた抵抗値も含まれています。測定ポイントのプロットとフィッティング関数が作成され、、および特定の接触抵抗率の値も計算されます。 ${\displaystyle L_{T}}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle \rho _{C}}$

% 得られた測定データを含むベクトル
d  =  20 : 20 : 200 ;  # このベクトルにはギャップの長さが含まれます
R_row  =  [ 112.258772 ,  125.071437 ,  130.619235 ,  138.959548 ,  139.110758 ,  148.420932 ,  148.474871 ,  160.83128 ,  166.670412 ,  167.614947 ]; 
R  =  transpose ( R_row );

%ここで、Xの列ベクトルは次のように定義されます
。r_i  =  200 ; 
x1  =  transpose ( log (( r_i . + d ) / r_i )); 
x2  =  transpose ( 1. / ( r_i . + d )  +  1 / r_i );

%行列Xを定義します
X  =  [ x1 ,  x2 ];

%値AとBを取得します
。beta  =  inv ( transpose ( X ) * X ) * transpose ( X ) * R ; 
A  =  beta ( 1 ); 
B  =  beta ( 2 );

%フィッティング関数を定義します
d_fit  =  0 : 1 : 200 ; 
R_fit  =  A * log (( r_i . + d_fit ) / r_i )  +  B * ( 1. / ( r_i . + d_fit )  +  1 / r_i );

%フィッティング関数と測定値をプロットします
scatter ( d , R ,  "r" ); 
hold  on ; 
plot ( d_fit ,  R_fit ); 
set ( gca , 'fontsize' , 14 ); 
xlabel ( 'ギャップ長さ[μm]' ); 
ylabel ( '総抵抗[オーム]' );

%物理的特性を計算します
R_S  =  A * 2 * pi ;  #オーム単位で指定します
L_T  =  2 * pi * B / R_S ;  #μm単位で指定します
rho_c  =  ( R_S * ( L_T ) ^ 2 ) * 10 ^ ( - 8 );  #オーム*cm^2単位で指定します

• 4端子センシング - 電気インピーダンスの測定方法
• ファンデルポー法 – 抵抗とホール電圧を正確に測定する方法

• Gary Tuttle、アイオワ州立大学電気・コンピュータ工学部。「接触抵抗と TLM 測定」(PDF)。{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)