高速暗算システム
ト ラクテンバーグ方式は、高速 暗算 システムです 。このシステムは、記憶しやすい多数の操作で構成されており、これにより算術計算を非常に速く実行できます。このシステムは、ナチスの 強制収容所 にいる間、頭を忙しくしておくためにウクライナのエンジニア、 ヤコフ・トラクテンバーグ によって開発されました。
この記事の残りの部分では、トラクテンバーグが考案したいくつかの方法を紹介します。トラクテンバーグが開発したアルゴリズムには、一般的な乗算、除算、加算のためのものがあります。また、トラクテンバーグ システムには、5 から 13 までの小さな数を乗算するための特殊な方法もいくつか含まれています。
加算のセクションでは、乗算にも適用できる計算をチェックする効果的な方法を示します。
一般的な掛け算 一般的な乗算の方法は、空間計算量の少ない乗算、つまりメモリ内に保持する一時的な結果をできるだけ少なくする 方法です。これは、最終桁が 被乗数 の最後の桁を乗算することで完全に決定されることに注意することで実現されます。これは一時的な結果として保持されます。最後から 2 番目の桁を見つけるには、この桁に影響するすべてのもの、つまり一時的な結果、 の最後の 桁と の最後から 2 番目の桁の積 、および の最後から 2 番目の桁 と の最後の桁の積が必要 です。この計算を実行すると、最後の 2 桁が正しい一時的な結果が得られます。
1つの × b
{\displaystyle a\times b}
1つの
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
1つの
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
一般に、 最終結果の各位置について、すべてを合計します 。
ん
{\displaystyle n}
私
{\displaystyle i}
1つの
（数字の
私
）
× b
（数字の
（ ん − 私 ）
）
。
{\displaystyle a{\text{ (数字 }}i{\text{ )}}\times b{\text{ (数字 }}(ni){\text{)}}.}
人々はこのアルゴリズムを学習し、4桁の数字を頭の中で掛け算し、最終結果のみを書き留めることができます。一番右の桁から始めて一番左の桁で終わるように書き出すのです。
Trachtenberg はこのアルゴリズムを、2 つの数字を 1 つの数字で乗算し、基本的に結果の真ん中の数字のみを保持する、一種のペアワイズ乗算で定義しました。このペアワイズ乗算を使用して上記のアルゴリズムを実行すると、保持する必要のある一時的な結果がさらに少なくなります。
例：
123456 × 789
{\displaystyle 123456\times 789}
答えの最初の（右端の）桁を見つけるには、被乗数の最初の桁から始めます。
の単位の桁 は
9 × 6
{\displaystyle 9\times 6}
4.
{\displaystyle 4.}
答えの最初の桁は です 。十の位は 無視されます。
4
{\displaystyle 4}
5
{\displaystyle 5}
最初の桁のポインタ 答えの 2 番目の桁を見つけるには、被乗数の 2 番目の桁から始めます。
一の位 と十の位を 足す
9 × 5
{\displaystyle 9\times 5}
9 × 6
{\displaystyle 9\times 6}
の単位の桁 。
8 × 6
{\displaystyle 8\times 6}
5 + 5 + 8 = 18
{\displaystyle 5+5+8=18}
。 答えの2桁目は 3桁目に 繰り上がります。
8
{\displaystyle 8}
1
{\displaystyle 1}
2桁目のポインタ 答えの 3 番目の桁を見つけるには、被乗数の 3 番目の桁から始めます。
一の位 と十の位を 足す
9 × 4
{\displaystyle 9\times 4}
9 × 5
{\displaystyle 9\times 5}
一の位 と十の位を 足す
8 × 5
{\displaystyle 8\times 5}
8 × 6
{\displaystyle 8\times 6}
の単位の桁
7 × 6
{\displaystyle 7\times 6}
1 + 6 + 4 + 0 + 4 + 2 = 17
{\displaystyle 1+6+4+0+4+2=17}
答えの3桁目は 次の桁に 繰り上がります。
7
{\displaystyle 7}
1
{\displaystyle 1}
3桁目のポインタ 答えの 4 桁目を見つけるには、被乗数の 4 桁目から始めます。
一の位 と十の位を 足す
9 × 3
{\displaystyle 9\times 3}
9 × 4
{\displaystyle 9\times 4}
一の位 と十の位を 足す
8 × 4
{\displaystyle 8\times 4}
8 × 5
{\displaystyle 8\times 5}
の 1 の位の数字 と の 10 の位の数字を加算します 。
7 × 5
{\displaystyle 7\times 5}
7 × 6
{\displaystyle 7\times 6}
1 + 7 + 3 + 2 + 4 + 5 + 4 = 26
{\displaystyle 1+7+3+2+4+5+4=26}
3桁目から繰り上がります。 答えの 4 桁目は 次の桁に 繰り上がります。
6
{\displaystyle 6}
2
{\displaystyle 2}
同じ方法を繰り返して残りの数字を取得します。
2本指法 トラクテンバーグはこれを 2 フィンガー法と呼びました。上の例の 4 番目の数字を求める計算は、右に示されています。9 の数字から伸びる矢印は、常に、求めている答えの数字の真上にある被乗数の数字を指し、他の矢印はそれぞれ 1 つ右の数字を指しています。各矢印の先は、UT ペア、つまり積のペアを指しています。垂直の矢印は、1 の位の数字を取得する積を指し、斜めの矢印は、積のペアの 10 の位の数字を取得する積を指します。矢印が数字のないスペースを指している場合、その矢印の計算はありません。各数字を解くときは、すべての矢印が先頭のゼロを指すまで、被乗数の上で各矢印を 1 つ左に移動します。
部門の準備 トラクテンバーグ方式の除算は、乗算とほぼ同じですが、加算ではなく減算を行います。被除数を小さな部分被除数に分割し、この部分被除数を除数の一番左の桁だけで割ると、一度に 1 桁ずつ答えが得られます。答えの各桁を解くときに、部分被除数から積ペア (UT ペア) と NT ペア (10 の位) を減算して、次の部分被除数を求めます。積ペアは、これまでの答えの桁と除数の間にあります。減算の結果が負の数になった場合は、1 桁戻って、答えのその桁を 1 減らす必要があります。十分に練習すれば、この方法は頭の中で実行できるようになります。
一般的な追加 数字の列を追加し、最初の操作を繰り返さずに結果を正確にチェックする方法。2 行の数字の形で中間の合計が生成されます。答えは、L 字型アルゴリズムを使用して中間結果の合計を取ることによって得られます。最終ステップとして、推奨されるチェック方法は、元のエラーを繰り返すリスクを排除し、エラーが発生した正確な列を一度に特定します。これは、9 の余り法などのチェック (または数字) 合計に基づいています。
手順を効果的に行うには、各段階で使用されるさまざまな操作を区別する必要があります。そうしないと、干渉が発生するリスクがあります。
その他の乗算アルゴリズム これらの乗算アルゴリズムのいずれかを実行するときは、次の「手順」を適用する必要があります。
答えは、最下位桁から始めて左に移動しながら、一度に 1 桁ずつ見つける必要があります。最後の計算は、被乗数の先頭のゼロに対して行われます。
各桁には 隣接する 桁、つまりその右側の桁があります。右端の桁の隣接する桁は末尾のゼロです。
「半分にする」という操作は、トラクテンバーグ方式では特別な意味を持っています。これは「数字の半分を切り捨てる」という意味ですが、速度上の理由から、トラクテンバーグ方式に従う人は、この半分にするプロセスを瞬時に行うことが推奨されています。したがって、「7 の半分は 3.5 なので 3」と考える代わりに、「7、3」と考えることが推奨されています。これにより、計算がかなり速くなります。これと同じように、10 または 9 から数字を引くための表も記憶する必要があります。
また、ルールで隣の数字の半分を加算する必要がある場合は、現在の数字が奇数であれば常に 5 を加算します。これにより、次の数字の計算で 0.5 が減ることを補います。
数字と桁数（10進数） 数字と数は異なる概念です。数 T は n 桁の数字 c n ... c 1 で構成されます。
T =
10
ん − 1
∗
c
ん
+ 。 。 。 +
10
0
∗
c
1
{\displaystyle T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}}
2倍する 証拠
R
= T ∗ 2 ─
R
= 2 ∗ （
10
ん − 1
∗
c
ん
+ … +
10
0
∗
c
1
） ─
R
=
10
ん − 1
∗ 2 ∗
c
ん
+ … +
10
0
∗ 2 ∗
c
1
質問 え だ
{\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール ：
各桁に 2 を掛けます (繰り上がりあり)。 例: 8624 × 2
左から右へ作業します:
8+8=16、 6+6=12（1を繰り上げる）、 2+2=4 4+4=8; 8624 × 2 = 17248 例: 76892 × 2
左から右へ作業します:
7+7=14 6+6=12 8+8=16 9+9=18 2+2=4; 76892 × 2 =153784
3倍する 証拠
R
= T ∗ 3 ─
R
= 3 ∗ （
10
ん − 1
∗
c
ん
+ … +
10
0
∗
c
1
） ─
R
= （ 10
/
2 − 2 ） ∗ （
10
ん − 1
∗
c
ん
+
10
ん − 2
∗
c
ん − 1
+ … +
10
0
∗
c
1
） ─
R
=
10
ん
∗ （
c
ん
/
2 − 2 ） +
10
ん
∗ 2 +
10
ん − 1
∗ （
c
ん − 1
/
2 − 2 ） +
10
ん − 1
∗ 2 + … +
10
1
∗ （
c
1
/
2 − 2 ） +
10
1
∗ 2
− 2 ∗ （
10
ん − 1
∗
c
ん
+
10
ん − 2
∗
c
ん − 1
+ … +
10
1
∗
c
2
+
10
0
∗
c
1
） ─
R
=
10
ん
∗ （
c
ん
/
2 − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （
c
ん − 1
/
2 + 20 − 2 − 2 ∗
c
ん
） +
10
ん − 2
∗ （
c
ん − 2
/
2 + 20 − 2 − 2 ∗
c
ん − 1
）
+ … +
10
1
∗ （
c
1
/
2 + 20 − 2 − 2 ∗
c
2
） +
10
0
∗ （ 20 − 2 ∗
c
1
） ─
R
=
10
ん
∗ （
c
ん
/
2 − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん
） +
c
ん − 1
/
2 ） +
10
ん − 2
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん − 1
） +
c
ん − 2
/
2 ）
+ … +
10
1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
2
） +
c
1
/
2 ） +
10
0
∗ （ 2 ∗ （ 10 −
c
1
） ） ─ ⋮ ℜ → ℵ
: ア
= （ 1つの
分割
b ） ∗ b + （ 1つの
モッド
b
）
R
=
10
ん
∗ （ （ （
c
ん
分割
2 ） ∗ 2 + （
c
ん
モッド
2
） ）
/
2 − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん
） +
c
ん − 1
/
2 ） +
10
ん − 2
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん − 1
） +
c
ん − 2
/
2 ）
+ … +
10
1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
2
） +
c
1
/
2 ） +
10
0
∗ （ 2 ∗ （ 10 −
c
1
） ） ─
R
=
10
ん
∗ （ （
c
ん
分割
2 ） − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （ 10 ∗ （
c
ん
モッド
2
）
/
2 + 2 ∗ （ 9 −
c
ん
） +
c
ん − 1
/
2 ） +
10
ん − 2
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん − 1
） +
c
ん − 2
/
2 ）
+ … +
10
1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
2
） +
c
1
/
2 ） +
10
0
∗ （ 2 ∗ （ 10 −
c
1
） ） ─
R
=
10
ん
∗ （ （
c
ん
分割
2 ） − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん
） +
c
ん − 1
/
2 + （
c
ん
モッド
2
） ∗ 5 ） +
10
ん − 2
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん − 1
） +
c
ん − 2
/
2 ）
+ … +
10
1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
2
） +
c
1
/
2 ） +
10
0
∗ （ 2 ∗ （ 10 −
c
1
） ） ─
R
=
10
ん
∗ （ （
c
ん
分割
2 ） − 2 ） +
10
ん − 1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
ん
） + （
c
ん − 1
分割
2 ） +
もし
（
c
ん
モッド
2
<> 0 ; 5 ; 0 ） ）
+ … +
10
1
∗ （ 2 ∗ （ 9 −
c
2
） + （
c
1
分割
2 ） +
もし
（
c
2
モッド
2
<> 0 ; 5 ; 0 ） ）
+
10
0
∗ （ 2 ∗ （ 10 −
c
1
） +
もし
（
c
1
モッド
2
<> 0 ; 5 ; 0 ） ）
質問 え だ
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
10 から右端の数字を引きます。 残りの数字を9から引きます。 結果を2倍にします。 右隣の数字の半分を加算し、 数字が奇数の場合は 5 を 加算します。 先頭のゼロについては、隣接するゼロの半分から 2 を引きます。 例: 492 × 3 = 1476
右から左へ作業します:
(10 − 2) × 2 + 0の半分 (0) = 16。6を書き、1を繰り上げます。 (9 − 9) × 2 + 2の半分 (1) + 5 (9は奇数なので) + 1 (繰り上がり) = 7。7と書きます。 (9 − 4) × 2 + 9の半分 (4) = 14。4を書き、1を繰り上げます。 4の半分（2）−2 + 1（繰り上がり）= 1。1と書きます。
4倍する 証拠
R
=
T
∗
4
⇔
R
=
4
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
(
10
/
2
−
1
)
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
2
∗
c
n
−
1
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
⋮
see proof of method 3
R
=
10
n
∗
(
(
c
n
div
2
)
−
1
)
+
10
n
−
1
∗
(
(
9
−
c
n
)
+
(
c
n
−
1
div
2
)
+
if
(
c
n
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
…
+
10
1
∗
(
(
9
−
c
2
)
+
(
c
1
div
2
)
+
if
(
c
2
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
0
∗
(
(
10
−
c
1
)
+
if
(
c
1
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
10 から右端の数字を引きます。 残りの数字を9から引きます。 隣の数字の半分を加算し、 数字が奇数の場合は 5 を 加算します。 先頭の 0 については、隣接する値の半分から 1 を引きます。 例: 346 × 4 = 1384
右から左へ作業します:
(10 − 6) + 0の半分 (0) = 4。4と書きます。 (9 − 4) + 6の半分 (3) = 8。8と書きます。 (9 − 3) + 4の半分 (2) + 5 (3は奇数なので) = 13。3を書き、1を繰り上げます。 3の半分（1）−1 + 1（繰り上がり）= 1。1と書きます。
5倍する 証拠
R
=
T
∗
5
⇔
R
=
5
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
(
10
/
2
)
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
2
∗
c
n
−
1
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
/
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
−
1
/
2
)
+
…
+
10
1
∗
(
c
1
/
2
)
⇔
⋮
ℜ
→
ℵ
: a
=
(
a
div
b
)
∗
b
+
(
a
mod
b
)
R
=
10
n
∗
(
(
c
n
div
2
)
∗
2
+
(
c
n
mod
2
)
)
/
2
+
10
n
−
1
∗
(
(
c
n
−
1
div
2
)
∗
2
+
(
c
n
−
1
mod
2
)
)
/
2
+
…
+
10
2
∗
(
(
c
2
div
2
)
∗
2
+
(
c
2
mod
2
)
)
/
2
+
10
1
∗
(
(
c
1
div
2
)
∗
2
+
(
c
1
mod
2
)
)
/
2
⇔
R
=
10
n
∗
(
(
c
n
div
2
)
+
(
c
n
mod
2
)
/
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
(
c
n
−
1
div
2
)
+
(
c
n
−
1
mod
2
)
/
2
)
+
…
+
10
2
∗
(
(
c
2
div
2
)
+
(
c
2
mod
2
)
/
2
)
+
10
1
∗
(
(
c
1
div
2
)
+
(
c
1
mod
2
)
/
2
)
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
10
∗
(
c
n
mod
2
)
/
2
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
−
1
div
2
)
+
10
n
−
2
∗
10
∗
(
c
n
−
1
mod
2
)
/
2
+
10
n
−
2
∗
(
c
n
−
2
div
2
)
+
…
+
10
2
∗
(
c
2
div
2
)
+
10
1
∗
10
∗
(
c
2
mod
2
)
/
2
+
(
c
1
div
2
)
)
+
10
0
∗
10
∗
(
c
1
mod
2
)
/
2
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
−
1
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
mod
2
)
∗
5
+
10
n
−
2
∗
(
c
n
−
2
div
2
)
+
10
n
−
2
∗
(
c
n
−
1
mod
2
)
∗
5
+
…
+
10
2
∗
(
c
2
div
2
)
+
10
2
∗
(
c
3
mod
2
)
∗
5
+
10
1
∗
(
c
1
div
2
)
+
10
1
∗
(
c
2
mod
2
)
∗
5
+
10
0
∗
(
c
1
mod
2
)
∗
5
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
(
c
n
−
1
div
2
)
+
if
(
c
n
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
n
−
2
∗
(
(
c
n
−
2
div
2
)
+
if
(
c
n
−
1
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
…
+
10
2
∗
(
(
c
2
div
2
)
+
if
(
c
3
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
1
∗
(
(
c
1
div
2
)
+
if
(
c
2
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
0
∗
if
(
c
1
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール ：
隣の数字の半分を取り、現在の数字が奇数の場合は 5 を加算します。 例: 42×5=210
2 の隣の数字の半分、つまり末尾のゼロは 0 です。 4 の隣の半分は 1 です。 先頭のゼロの隣のゼロの半分は 2 です。 43×5 = 215 3 の隣の数の半分は 0 で、3 は奇数なので 5 を足すと 5 になります。 4 の隣の半分は 1 です。 先頭のゼロの隣のゼロの半分は 2 です。 93×5=465 3 の隣の数の半分は 0 で、3 は奇数なので 5 を足すと 5 になります。 9 の隣の数字の半分は 1 で、9 は奇数なので 5 を足すと 6 になります。 先頭のゼロの隣の数字の半分は 4 です。
6倍する 証拠
R
=
T
∗
6
⇔
R
=
6
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
(
10
/
2
+
1
)
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
2
∗
c
n
−
1
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
/
2
+
1
∗
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
1
∗
c
n
−
1
/
2
+
1
∗
10
n
−
2
∗
c
n
−
1
+
…
+
10
1
∗
c
1
/
2
+
1
∗
10
0
∗
c
1
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
/
2
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
+
c
n
−
1
/
2
)
+
…
+
10
1
∗
c
1
/
2
+
c
1
⇔
⋮
ℜ
→
ℵ
: a
=
(
a
div
b
)
∗
b
+
(
a
mod
b
)
R
=
10
n
∗
(
(
c
n
div
2
)
∗
2
+
(
c
n
mod
2
)
)
/
2
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
+
c
n
−
1
/
2
)
+
…
+
10
1
∗
c
1
/
2
+
c
1
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
mod
2
)
∗
5
+
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
1
∗
(
(
c
n
−
1
div
2
)
∗
2
+
(
c
n
−
1
mod
2
)
)
/
2
+
…
+
10
1
∗
c
1
/
2
+
c
1
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
+
(
c
n
−
1
div
2
)
+
if
(
(
c
n
mod
2
)
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
n
−
2
∗
(
c
n
−
1
mod
2
)
∗
5
+
…
+
10
1
∗
c
1
/
2
+
c
1
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
+
(
c
n
−
1
div
2
)
+
if
(
(
c
n
mod
2
)
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
n
−
2
∗
(
c
n
−
1
+
(
c
n
−
2
div
2
)
+
if
(
(
c
n
−
1
mod
2
)
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
…
+
10
0
∗
(
c
1
+
if
(
(
c
1
mod
2
)
<>
0
;
5
;
0
)
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
各桁に隣接する桁の半分を加算します。現在の桁が奇数の場合は 5 を加算します。 例: 357 × 6 = 2142
右から左へ作業します:
7 には隣の数がないので、5 を足します (7 は奇数なので) = 12。2 を書き、1 を繰り上げます。 5 + 7 の半分 (3) + 5 (最初の数字 5 は奇数なので) + 1 (繰り上がり) = 14。4 と書き、1 を繰り上がります。 3 + 5 の半分 (2) + 5 (3 は奇数なので) + 1 (繰り上がり) = 11。1 と書き、1 を繰り上がります。 0 + 3の半分（1）+ 1（繰り上がり）= 2。2と書きます。
7倍する 証拠
R
=
T
∗
7
⇔
R
=
7
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
(
10
/
2
+
2
)
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
⋮
see proof of method 6
R
=
10
n
∗
(
c
n
div
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
2
∗
c
n
+
(
c
n
−
1
div
2
)
+
if
(
c
n
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
10
n
−
2
∗
(
2
∗
c
n
−
1
+
(
c
n
−
2
div
2
)
+
if
(
c
n
−
1
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
…
+
10
1
∗
(
2
∗
c
2
+
(
c
1
div
2
)
+
if
(
c
2
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
)
+
2
∗
c
1
+
if
(
c
1
mod
2
<>
0
;
5
;
0
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
各桁を2倍にします。 右隣の数字の半分を追加します (小数点がある場合は切り捨てます)。単位位置の隣の数字は 0 です。 基数が偶数の場合は 0 を加算し、そうでない場合は 5 を加算します。 前のステップから持ち越した分を追加します。 例: 693 × 7 = 4,851
右から左へ作業します:
(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = 繰り越し1、結果1。 (9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = 繰り越し2、結果5。 (6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = 繰り越し1、結果8。 (0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = 結果 4。
8倍する 証拠
R
=
T
∗
8
⇔
R
=
T
∗
4
∗
2
⇔
⋮
see proof of method 4
R
=
10
n
∗
2
∗
(
c
n
/
2
−
1
)
+
10
n
−
1
∗
2
∗
(
(
9
−
c
n
)
+
c
n
−
1
/
2
)
+
10
n
−
2
∗
2
∗
(
(
9
−
c
n
−
1
)
+
c
n
−
2
/
2
)
+
…
+
10
1
∗
2
∗
(
(
9
−
c
2
)
+
c
1
/
2
)
+
10
0
∗
2
∗
(
10
−
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
−
2
)
+
10
n
−
1
∗
(
2
∗
(
9
−
c
n
)
+
c
n
−
1
)
+
…
+
10
2
∗
(
2
∗
(
9
−
c
3
)
+
c
2
)
+
10
1
∗
(
2
∗
(
9
−
c
2
)
+
c
1
)
+
2
∗
(
10
−
c
1
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
10 から右端の数字を引きます。
残りの数字を9から引きます。 結果を2倍にします。 隣人を追加します。 先頭のゼロについては、隣接するゼロから 2 を引きます。 例: 456 × 8 = 3648
右から左へ作業します:
(10 − 6) × 2 + 0 = 8。8と書きます。 (9 − 5) × 2 + 6 = 14、4を書き、1を繰り上げる。 (9 − 4) × 2 + 5 + 1 (繰り上がり) = 16。6を書き、1を繰り上げます。 4 − 2 + 1 (繰り上がり) = 3。3 と書きます。
9倍する 証拠
R
=
T
∗
9
⇔
R
=
(
10
−
1
)
∗
T
⇔
R
=
10
n
∗
(
c
n
−
1
)
+
10
n
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
−
1
−
1
)
+
10
n
−
1
+
…
+
10
1
∗
(
c
1
−
1
)
+
10
1
−
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
10
n
−
2
∗
c
n
−
1
+
…
+
10
1
∗
c
2
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
⋮
see proof of method 4
R
=
10
n
∗
(
c
n
−
1
)
+
10
n
−
1
∗
(
9
−
c
n
+
c
n
−
1
)
+
10
n
−
2
∗
(
9
−
c
n
−
1
+
c
n
−
2
)
+
…
+
10
1
∗
(
9
−
c
2
+
c
1
)
+
10
0
∗
(
10
−
c
1
)
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10-1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
10 から右端の数字を引きます。
残りの数字を9から引きます。 合計に隣の人を加える 先頭のゼロについては、隣接するゼロから 1 を減算します。 ルール 9、8、4、3 では、最初の数字のみが 10 から減算されます。その後は、各数字が 9 から減算されます。
例: 2,130 × 9 = 19,170
右から左へ作業します:
(10 − 0) + 0 = 10。0を書き、1を繰り上げます。 (9 − 3) + 0 + 1 (繰り上がり) = 7。7と書きます。 (9 − 1) + 3 = 11。1を書き、1を繰り上げます。 (9 − 2) + 1 + 1 (繰り上がり) = 9。9と書きます。 2 − 1 = 1 です。1 と書きます。
10倍する 右端の数字に 0 (ゼロ) を追加します。
証拠
R
=
T
∗
10
⇔
R
=
10
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
+
…
+
10
1
∗
c
1
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}
11倍する 証拠
R
=
T
∗
11
⇔
R
=
T
∗
(
10
+
1
)
R
=
10
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
+
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
+
10
n
−
1
∗
(
c
n
+
c
n
−
1
)
+
…
+
10
1
∗
(
c
2
+
c
1
)
+
c
1
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール：
数字を隣の数字に追加します。(「隣」とは、右側の数字を意味します。) 例：
3
,
425
×
11
=
37
,
675
{\displaystyle 3,425\times 11=37,675}
(0 + 3) (3 + 4) (4 + 2) (2 + 5) (5 + 0) 3 7 6 7 5 例を挙げると:
11=10+1 したがって、
3425
×
11
=
3425
×
(
10
+
1
)
{\displaystyle 3425\times 11=3425\times (10+1)}
→
37675
=
34250
+
3425
{\displaystyle \rightarrow 37675=34250+3425}
12倍する 証拠
R
=
T
∗
12
⇔
R
=
T
∗
(
10
+
2
)
R
=
10
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
+
2
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
+
10
n
−
1
∗
(
2
∗
c
n
+
c
n
−
1
)
+
…
+
10
1
∗
(
2
∗
c
2
+
c
1
)
+
2
∗
c
1
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}
ルール: 12 を掛けるには 、 右端の数字から始めて、各数字を 2 倍にして、隣の数字を足します。(「隣の数字」とは、右側の数字のことです。)
答えが 1 桁より大きい場合は、余分な桁 (1 または 2) を次の演算に繰り越します。残りの桁は最終結果の 1 桁になります。
例：
316
×
12
{\displaystyle 316\times 12}
被乗数 0316 の近傍を判定します。
数字6には右隣の数字がない 数字1の隣の数字は6です 数字3の隣の数字は1です 数字0（先頭のゼロ）の隣の数字は3である
6
×
2
=
12
(2 carry 1)
1
×
2
+
6
+
1
=
9
3
×
2
+
1
=
7
0
×
2
+
3
=
3
0
×
2
+
0
=
0
316
×
12
=
3
,
792
{\displaystyle {\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}}
13倍する 証拠
R
=
T
∗
13
⇔
R
=
T
∗
(
10
+
3
)
R
=
10
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
+
3
∗
(
10
n
−
1
∗
c
n
+
…
+
10
0
∗
c
1
)
⇔
R
=
10
n
∗
c
n
+
10
n
−
1
∗
(
3
∗
c
n
+
c
n
−
1
)
+
…
+
10
1
∗
(
3
∗
c
2
+
c
1
)
+
3
∗
c
1
Q
E
D
{\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}
出版物 Rushan Ziatdinov、Sajid Musa。 小学生のアルゴリズム思考の発達のためのツールとしての高速メンタルコンピューティングシステム 。ヨーロッパ研究者25（7）：1105-1110、2012 [1]。 ジャコウ・トラクテンバーグ、A・カトラー（翻訳）、R・マクシェーン（翻訳）による『トラクテンバーグ基礎数学スピードシステム』は 、1960年にニューヨーク州ガーデンシティのダブルデイ・アンド・カンパニー社から出版されました。 [1] この本には、上記の各操作に関する具体的な代数的説明が含まれています。
この記事の情報のほとんどは原書からのものです。
代数的記述の章があるにもかかわらず、乗算などのアルゴリズム/演算は、本では指定されていない、よりコンパクトな方法で表現できます。 [a]
大衆文化では 2017年のアメリカ映画『 ギフテッド』 は、トラクテンバーグ方式を使って暗算をして先生を感心させた7歳の天才少女を描いた作品である。 [2]
その他のシステム 暗算には他にも多くの計算方法があります。以下のリストには、完全に暗算ではないかもしれないが、他の計算方法をいくつか示します。
注記
^ この情報はすべて、1960 年に出版され印刷されたオリジナルの本からのものです。オリジナルの本は 7 つの章から成り、270 ページあります。章のタイトルは次のとおりです。各章の多数のサブカテゴリはリストされていません。基本的な数学の Trachtenberg スピード システム 第1章 テーブルの有無 第2章 直接法による高速増殖 第3章 スピード倍増-「2本指」法 第4章 足し算と正解 第5章 部門 – スピードと正確さ 第6章 平方と平方根 第7章 方法の代数的記述
引用:
「高速乗算、除算、加算、減算、平方根計算のための革新的な新手法。」(1960) 「計算機を使わずに、高速な掛け算、割り算、足し算、引き算、平方根計算ができるベストセラーメソッド。」 (2009 年再版) 掛け算は九九を使わずに行われます 「5132437201 を 4522736502785 で 70 秒以内に掛け算できますか？」 「ある少年（小学校に通う電卓なし）が、トラクテンバーグ基礎数学スピードシステムを使って、成功しました。」 創設者のヤコウ・トラクテンバーグは、第二次世界大戦の終わりごろ、ヒトラーのドイツで活動していた施設から逃亡しました。トラクテンバーグ教授は、祖国ロシアで帝政が打倒されたときにドイツに逃げ、30代半ばまでそこで平和に暮らしていましたが、反ヒトラーの姿勢から再び逃亡を余儀なくされました。彼は逃亡者であり、捕らえられてから合計7年間、さまざまな強制収容所で過ごしました。この間に、トラクテンバーグ教授はスピード数学のシステムを考案しました。彼の仕事のほとんどは、ペンや紙を使わずに行われました。したがって、ほとんどのテクニックは頭の中で実行できます。
参考文献
^ Trachtenberg, Jakow (1960). Cutler, Ann (編). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. A. Cutler、R. McShane 訳. Doubleday and Company, Inc. p. 270. 1962 年版: ISBN 9780285629165 。 ^ @GiftedtheMovie (2017年3月9日). 「趣味はレゴで遊ぶこととトラクテンバーグシステムを学ぶことです👷♀️📚✏️ @McKennaGraceful is Mary // #GiftedMovie」( ツイート ) – Twitter 経由。
さらに読む Trachtenberg, J. (1960)。 『基礎数学の Trachtenberg スピードシステム』 。Doubleday and Company, Inc.、ガーデンシティ、ニューヨーク、米国。 Катлер Э.、Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу 、1967年 （ロシア語） 。 Rushan Ziatdinov、Sajid Musa。「小学生のアルゴリズム的思考力の発達のためのツールとしての高速メンタルコンピューティングシステム」、 European Researcher 25(7): 1105–1110、2012年。
外部リンク Chandrashekhar, Kiran. 「[すべて学ぶ] 数学のショートカット」、 Wayback Machine の SapnaEdu.in (2018 年 5 月 30 日アーカイブ) 『ギフテッド』（2017年の映画）この映画は トラクテンバーグシステム に関するもので 、この技法を学んだ若いアーティスト、 マッケナ・グレースが 主役を演じています。 ヴェーダ数学アカデミー
![{\displaystyle {\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2繰り上がり1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943f833e78415c7525b0e939b2d7c2a17d627f3a)
