スイング方程式

電力システムは、あらゆる動作条件下で同期して動作する多数の同期機で構成されています。通常の動作状態では、ローター軸と結果として生じる磁場軸の相対位置は固定されています。この 2 つの間の角度は、電力角、 トルク角、またはローター角と呼ばれます。外乱が発生すると、ローターは同期して回転する空隙の起磁力に対して減速または加速し、相対運動が生じます。この相対運動を表す方程式はスイング方程式と呼ばれ、同期機のローターのスイングを表す非線形 2 次微分方程式です。ローターのスイング (加速と減速) による機械ローターと電力網間の電力交換は、慣性応答と呼ばれます。

同期発電機は原動機によって駆動されます。回転子の動きを表す方程式は次のように表されます。

${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}}$ N -m

どこ：

• ${\displaystyle J}$ローター質量の総慣性モーメント（kg-m ^2）
• ${\displaystyle \theta _{\text{m}}}$回転子の固定軸に対する角度位置（rad）
• ${\displaystyle t}$時間は秒単位です。
• ${\displaystyle T_{\text{m}}}$原動機によって供給される機械的トルク（N -m）
• ${\displaystyle T_{\text{e}}}$オルタネーターの電気トルク出力（N -m）
• ${\displaystyle T_{a}}$正味加速トルク（N -m）

損失を無視すると、機械的トルクと電気的トルクの差が正味の加速トルクT _aになります。定常状態では、電気的トルクは機械的トルクに等しいため、加速力はゼロです。^[1]この期間中、ローターは同期速度 ω _s (rad/s) で動きます。電気的トルクT _{e は}機械の正味の空隙電力に相当し、発電機の全出力電力と電機子巻線の I ² R 損失の合計になります。

角度位置 θ は静止した基準フレームで測定されます。同期回転フレームを基準に表すと次のようになります。

${\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{s}}t+\delta _{\text{m}}}$

ここで、δ _{m は}同期回転基準フレームに対する角度位置（rad 単位）です。上記の式の時間に対する導関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{s}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}}$

_{上記の式は、dδ m} /d tがゼロの場合にのみ、ローター角速度が同期速度に等しいことを示しています。したがって、dδ _m /d tの項は、ローター速度の同期からの偏差を rad/s 単位で表します。

上記の式の 2 次導関数を取ると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}}$

上記の式をローターの運動方程式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}}$ N -m

表記上、回転子の角速度ω _mを導入し、両辺にω _mを掛けると、 ${\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}}$

${\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}}$ わ

ここで、P _m、P _e、P _{a は}それぞれ機械的、電気的、加速的なパワー（MW単位）です。

係数Jω _mは回転子の角運動量であり、同期速度ω _sではMで表され、機械の 慣性定数と呼ばれます。これを次のように正規化すると、

${\displaystyle H={\frac {\text{同期速度でのメガジュール単位の蓄積運動エネルギー}}{\text{MVA単位の機械定格}}}={\frac {J\omega _{\text{s}}^{2}}{2S_{\text{定格}}}}}$ MJ/MVA

ここで、S_定格は機械の三相定格（MVA）です。上記の式に代入すると

${\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{s}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}}$。

_{定常状態で}は、機械の角速度は同期速度に等しいため、上記の式ではω _{m をω s}に置き換えることができます。P m 、 P e 、 P a は MW で与えられるため、これを_発電機の_MVA定格 S _ratedで割ると、単位あたりの量が得られます。上記の式の両辺をS _ratedで割ると、次のようになります。

上記の式はローターのダイナミクスの挙動を記述するもので、スイング方程式として知られています。角度 δ は発電機の内部 EMF の角度であり、転送できる電力の量を決定します。したがって、この角度は負荷角度と呼ばれます。