トーンクロック

トーンクロックとそれに関連する作曲理論であるトーンクロック理論は、作曲家のピーター・シャットとジェニー・マクロードによって開発されたポスト調性音楽の作曲技法である。トーンクロックの目的は、半音階の音程を、各音程が一度だけ使用される12の三和音に一貫して並べることである。^[1]トーンクロック理論を使用して書かれた音楽は、一般的に半音階の音楽言語の中で、音程を非常に節約していることを特徴としている。これは、トーンクロック理論が、作曲家がすべての和音と旋律の素材を限られた数の音程構成（トーンクロック用語では「インターバル・プライム・フォーム」またはIPFと呼ばれる）から生成することを推奨しているためである。トーンクロック理論はまた、3音のピッチクラスセット（トーンクロック用語では三和音または「三和音」）がより大きなセットの基礎となることを示す方法にも関係しており、これらの三和音をあらゆる楽曲の和声の世界における基本単位と見なしている。 3和音素形式は12通りあるため、シャットはそれらを「時間」と呼び、時計の文字盤に並べ、最小の時間（IPF表記法では012または1-1）を1時の位置に、最大の時間（IPF表記法では048または4-4）を12時の位置に配置したと想像しました。トーンクロック理論の注目すべき特徴は、トーンクロックステアリングです。これは、半音集合体の各音が1回だけ生成されるように時間を転置または反転するものです。

トーンクロック理論はアレン・フォルテのピッチクラス集合理論と多くの類似点があるが、単一の集合クラスの複数の転置と転回からピッチフィールドを作成することに重点を置き、ピッチクラスの繰り返しを最小限に抑えて（たとえあったとしても）、12のピッチクラスすべて（半音集合体）を完成させることも目指している。トーンクロック理論は半音集合体の作成に重点を置いているが、ピッチクラスの順序は重要ではないため、シリアル手法ではない。しかし、アントン・ウェーベルンやミルトン・バビットらが使用した、1つまたは2つの集合クラスのみから行を構築するシリアル導出の手法とある程度の類似性がある。また、任意の濃度の集合に一般化されているとはいえ、 ヨーゼフ・ハウアーの比喩体系とも類似性がある。

トーンクロック（オランダ語ではtoonklok）という用語は、もともとオランダの作曲家ピーター・シャットが、12音のピッチフィールドを作成するために三和音を移調および反転し、12のピッチクラスがすべて一度だけ作成されるようにする手法を考案したことに関連して造られた。^{[2]シャットは、減三和音（フォルテの}ピッチクラス集合論では036または3-10）を除く12の三和音すべてから、三和音的に分割された集合体を実現できることを発見した。シャットは12の三和音を「時間」と呼び、それらは彼の作品の多くでハーモニー構成の中心となった。彼は時間の「黄道帯」を作成し、これは時間のトーンクロックステアリングによって作成された対称パターンをグラフィカルに表示した。（時間Xは、トーンクロックステアリング可能なテトラコルドである減七に置き換えられます）。

ニュージーランドの作曲家ジェニー・マクロードは、著書『クロマティック・マップ』で、シャットの三和音への焦点を拡張し、223の集合クラスすべてを網羅し、真の音階理論を確立した。^[3]また、彼女は集合クラスの分類とラベル付けを「簡素化」し、分野内の特定の転置特性に注意を向けるために、新しい用語を導入した。

この理論を最も簡潔に音楽的に表現したのが、 1988年から2011年にかけて作曲された「24 Tone Clock Pieces」です。これらのピアノ作品はそれぞれ、トーンクロック理論のさまざまな側面を探求しています。

McLeod のChromatic Maps Iでは以下の用語が説明されています。

• 音程素形式(IPF): 一連の音程クラスとして表現されるピッチクラスセットの素形式 (例: セットクラス (037) は、音階理論では 3-4 と呼ばれます。これは、素形式の連続するピッチ間の音程クラスであるためです)。可能な場合は、IPF は時間グループ表記を使用してラベル付けされます (以下を参照)。さらに、タイトル内の異なる音程クラスの数が 1 つまたは 2 つになるように IPF を書き直すことができる場合は、これが推奨される表記です。例: IPF 143 (pc セット理論では 0158) は 414 または 434 に書き直すことができますが、これは三和音との関係がより明確になるため、推奨されます。
• 時間: 12 の三弦セットクラス。トーンクロック理論ではトライアドと呼ばれます。したがって、最初の時間は IPF 1-1 (pc セット理論では、セットクラス 3-1 または (012)) であり、 12 番目の時間は IPF 4-4 (pc セット理論では、セットクラス 3-12 または (048)) です。トーンクロック理論では、時間はローマ数字で表すことが多く、IV は IPF 1-4、IX は IPF 2-5 です。
• メジャー形式とマイナー形式:非対称の拍子 (2 つの異なる間隔クラスから形成される拍子) の場合、マイナー形式は最小の ic が下になる 3 和音の反転であり、メジャー形式は最大の ic が下になる 3 和音の反転です。したがって、XIm は標準のマイナー 3 和音 (3-4) に相当し、XIM はメジャー 3 和音 (4-3) に相当します。
• 時間グループ: 1つまたは2つの間隔クラスのみを持つ IPF は、多くの場合、単一の時間と関連付けられるため、この関係を明確にするためにローマ数字の時間表記法を使用して再ラベル付けされます。たとえば、テトラコルド IPF 242 は、明らかに第8時間IPF 2-4 (pc セット理論のセットクラス 3-8) に関連付けられています。したがって、これは VIII ⁴とラベル付けできます。4 は、その基数、テトラコルドに関連付けられています。間隔の分布があいまいな場合、一部の IPF は時間グループとしてラベル付けできないことに注意してください。たとえば、IPF 2232 の場合、生成トライコルドが 2-2 (VI) であるか 2-3 (VII) であるかが不明です。ただし、2232 は 3223、5225、5555、または 2323 と書き直すことができ、これらはすべて有効な時間グループです。
• エディプス群: 最も一般的な種類の時間群で、2 つの音程クラスが交互に現れます (例: 音程クラスが 1212121 と進む八音音階)。2 番目の時間 (II、または IPF 1-2) に関連しています。これらは単に II ⁸という形式で記述されます。
• 複数時間グループ: 一部の IPF は、もはやプライム形式ではなくなりますが、異なる時間関係を示すように並べ替えることができます。たとえば、414 (IVM ^{4 ) は 434 (XIM 4} )と書き直すこともできます。トーンクロック理論では、これは IPF が異なる時間に対して複数の関係を持っていることを示していると考えられており、作曲家はそれをどのように発音し、どのように使用するかに応じてそれを引き出すことができます。
• 対称ペンタッド: 非対称の時間と明確な関係があるが、2 つの音程クラスが交互ではなく対称的に配置されているペンタコード/ペンタッド (例: 2442) は、「対称ペンタッド」と呼ばれ、次のように表記されます: SP VIII。
• ステアリング: 1 つの IPF が別の IPF によって転置されます (つまり、IPF a がIPF b をステアリングします)。IPF a と b が同じ場合、これは自己ステアリングです。IPF は必ずしもその主要な形式のままではなく、反転して表示されることもあることに注意してください。トーン クロック理論では、ステアリング グループ(転置レベルの基盤となる IPF) は一種の深層構造ステータスを持ちます。リスナーは必ずしもその即時の効果を聞くわけではありませんが、それは声部の進行などの要素を制御します。
• 逆ステアリング:ステアリング グループがステアリングされるグループになり、逆もまた同様です。つまり、IPF b がIPF A をステアリングします。トーン クロック理論では、これは一種の対称性を持つと考えられており、パッセージにコントラストや締めくくりを与えるように見えることがよくあります。
• 12 音ステアリングまたはトーン クロック ステアリング: pc の繰り返しなしで半音集合体を作成するための IPF の特定のステアリング。10 時間目 (減三和音) を除くすべての三和音は、この方法でステアリングできます。一部の四和音と、自己補完的な (つまり Z に関連しない) すべての六和音も、この方法でステアリングできます。
• アンカー形式: 通常はテトラコードから、PC の繰り返しのない 12 音集合体を作成しますが、集合体を完成させるために 2 番目の IPF を使用します。

ニュージーランドの作曲家であり音楽理論家でもあるマイケル・ノリスは、トーンクロックステアリングの概念をピッチクラステッセレーション理論に一般化し、トーンクロックステアリングを提供できるアルゴリズムを24TETで開発しました。また、マクラウドのトーンクロック作品についても執筆し、分析しています。^{[4] [5]}

トーンクロック理論は半音階の混沌を整理しますが、作曲家の調性の選択を制限します。トーンクロックは音程の広大な可能性を生み出しますが、使用可能な三和音の単一のクロックに制限されます。数学が音楽を導き出すと、今度は作曲家の音楽的選択が奪われます。 ^[6]