猿とハンター

物理学では、猿とハンターは、重力が発射体の運動に与える影響を説明するためによく使われる仮説的なシナリオです。^[1]これは演習問題として、またはデモンストレーションとして提示することができます。

この問題の本質は多くの物理学の入門書に述べられています。^{[2] [3]}本質的には、問題は次のとおりです。

吹き矢を持ったハンターが森に猿を狩りに出かけ、木にぶら下がっている一匹の猿を見つけました。ハンターが吹き矢を発射した瞬間、猿は手を離しました。ハンターは猿を撃つためにどこを狙うべきでしょうか?

この質問に答えるには、ガリレオの法則によれば、すべての物体は、その重さに関係なく、同じ一定の重力加速度（地表近くでは毎秒約 9.8 メートル）で落下することを思い出してください。さらに、水平方向の動きと垂直方向の動きは独立しています。重力は物体の垂直方向の速度にのみ作用し、水平方向の速度には作用しません。したがって、ハンターのダーツはサルと同じ加速度で落下します。

いま、重力が働いていないと仮定しよう。その場合、ダーツは一定の速度で直線軌道を進む（ニュートンの第一法則）。重力によりダーツはこの直線軌道から外れ、実際には放物線を描く軌道を描く。では、ハンターがサルを直接狙い、ハンターが撃った瞬間にサルが手を離した場合に何が起こるか考えてみよう。重力の力によりダーツとサルは等しく加速されるため、同じ時間で同じ距離を落下する。サルは木の枝から落ち、ダーツは重力がない場合にたどる直線軌道から同じ距離を落下する。したがって、ダーツの初速度や重力の加速度に関係なく、ダーツは必ずサルに当たる。 ^[4]

この問題を見る別の方法は、基準フレームの変換です。先ほど、地球が静止している基準フレームで問題を説明しました。しかし、地球の表面上の非常に小さな距離では、重力による加速度はほぼ一定であると見なすことができます。したがって、落下中、ダーツとサルの両方に同じ加速度gが作用します。基準フレームを、地球の基準フレームに対して量gだけ上向きに加速されるフレームに変換します（つまり、地球に対する新しいフレームの加速度は− gです）。ガリレイの等価性により、（ほぼ）一定の重力場は（ほぼ）消え、ダーツとサルの水平方向の速度だけが残ります。

この基準フレームでは、サルは静止しているので、ハンターはサルをまっすぐ狙う必要があります。角度は基準フレームの変換では不変なので、地球の基準フレームに戻しても、ハンターはサルをまっすぐ狙う必要があります。このアプローチには、結果が直感的に明らかになるという利点がありますが、理論では、古典力学の法則が非慣性（加速）基準フレームへの変換で不変であると仮定されていないという、若干の論理的欠陥があります（相対性原理も参照）。