ハーブランド構造

ハーブランド宇宙は、ハーブランド構造における宇宙として機能する。

させて$\displaystyle L^{\sigma }}$語彙を持つ第一言語である

• 定数記号:${\displaystyle c}$
• 関数記号:${\displaystyle f(\cdot ),\,g(\cdot )}$

そしてハーブランドの世界${\displaystyle H}$の$\displaystyle L^{\sigma }}$（または${\displaystyle \sigma }$） は

${\displaystyle H=\{c,f(c),g(c),f(f(c)),f(g(c)),g(f(c)),g(g(c)),\dots \}}$

関係記号は、関係のみを含む式が宇宙の要素に対応しないため、ヘルブランド宇宙には関係ありません。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle S}$語彙を備えた構造である${\displaystyle \sigma }$そして宇宙${\displaystyle U}$。 させて${\displaystyle W}$すべての項の集合とする${\displaystyle \sigma }$そして${\displaystyle W_{0}}$変数を含まない項のサブセットとする。${\displaystyle S}$は、以下の条件を満たす場合にヘルブランド構造であると言われます。

1. ${\displaystyle U=W_{0}}$
2. ${\displaystyle f^{S}(t_{1},\dots ,t_{n})=f(t_{1},\dots ,t_{n})}$すべての${\displaystyle n}$-項関数記号${\displaystyle f\in \sigma }$そして$\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in W_{0}}$
3. ${\displaystyle c^{S}=c}$すべての定数に対して${\displaystyle c}$で${\displaystyle \sigma }$

1. ${\displaystyle U}$ハーブランドの世界は${\displaystyle \sigma }$。
2. 理論のモデルであるヘルブランド構造${\displaystyle T}$ハーブランドモデルと呼ばれる${\displaystyle T}$。

定数記号の場合${\displaystyle c}$単項関数記号${\displaystyle f(\,\cdot \,)}$私たちは次のような解釈をしています。

• ${\displaystyle U=\{c,fc,ffc,fffc,\dots \}}$
• ${\displaystyle fc\mapsto fc,ffc\mapsto ffc,\dots }$
• ${\displaystyle c\mapsto c}$

ハーブランドベース${\displaystyle {\mathcal {B}}_{H}}$ヘルブランド構造の場合、それは引数項がヘルブランド宇宙の要素であるすべての原子式の集合である。

二項関係記号の場合${\displaystyle R}$上記の条件を用いると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{H}=\{R(c,c),R(fc,c),R(c,fc),R(fc,fc),R(ffc,c),\dots \}}$