タウベスのグロモフ不変量

数学において、クリフォード・タウベスのグロモフ不変量は、シンプレクティック4 次元多様体における埋め込まれた（切断されている可能性もある）擬正則曲線を数える。ここで、曲線は補助的な互換性のある概複素構造に関して正則である。（自己交差が 0 である 2 次元トーラスの多重被覆も数えられる。）

タウベスは、この不変量に​​含まれる情報が、ザイバーグ・ウィッテン方程式から導かれる不変量と同等であることを、4 本の長い論文シリーズで証明しました。この不変量に​​関連する解析的複雑さの多くは、多重被覆擬正則曲線を適切に数えることから生じ、その結果はほぼ複素構造の選択に左右されません。核心は、擬正則曲線の位相的に定義されたインデックスであり、これが埋め込みを制御し、フレドホルム インデックスを制限します。

埋め込み接触ホモロジーとは、マイケル・ハッチングスによるこの研究の非コンパクト 4 次元多様体への拡張であり、Yはコンパクト3 次元接触多様体です。ECH はシンプレクティック場理論のような不変量です。つまり、これはY上の接触形式のレーブ軌道の特定の組み合わせによって生成される鎖複体のホモロジーであり、その微分は、 における「ECH 指数」が 1 である特定の埋め込み擬正則曲線と多重被覆擬正則円筒を数えます。ECH 指数は円筒形の場合のタウブス指数のバージョンであり、この場合も、曲線は適切な概複体構造に関して擬正則です。結果はYの位相不変量であり、タウブスはこれがYのザイバーグ・ウィッテン ホモロジーのバージョンである単極フレアー ホモロジーと同型であることを証明しました。 ${\displaystyle Y\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\times \mathbb {R} }$

• Taubes, Clifford (2000)。Wentworth, Richard (編)。シンプレクティック 4 次元多様体に対する Seiberg Witten および Gromov 不変量。第一国際出版講演シリーズ。第 2 巻。マサチューセッツ州サマービル: International Press。ISBN 1-57146-061-6. MR  1798809。
• Taubes, Clifford (2010). 「埋め込み接触ホモロジーと Seiberg-Witten Floer コホモロジー I」. Geometry & Topology . 14 (5): 2497–2581. arXiv : 0811.3985 . doi :10.2140/gt.2010.14.2497. MR  2746723.