マスター安定機能

数学において、マスター安定関数は、倉本モデルなどの多数の同一システムが結合された動的システムにおける同期状態の安定性を分析するために使用されるツールです。

設定は次のとおりです。同一の発振器を持つシステムを考えます。結合がない場合、それらは同じ微分方程式に従って進化します。ここで、 は発振器 の状態を表します。発振器システムの同期状態は、すべての発振器が同じ状態にある状態です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f(x_{i})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$

結合は、結合強度、振動子同士がどのように結合しているかを表す行列、および単一の振動子の状態の関数によって定義されます。結合を含めると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f(x_{i})+\sigma \sum _{j=1}^{N}A_{ij}g(x_{j}).}$

行の合計がゼロになるため、同期状態の多様体は中立的に安定していると仮定します。 ${\displaystyle \sum _{j}A_{ij}}$

マスター安定関数は、複素数を次の式の 最大のリアプノフ指数にマッピングする関数として定義される。${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle {\dot {y}}=(Df+\gamma Dg)y.}$

結合振動子システムの同期状態は、マスター安定関数が で負であり、結合行列 の固有値を超える場合、安定です。 ${\displaystyle \sigma \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda_{k}}$${\displaystyle A}$

• アレナス、アレックス; ディアス-ギレラ、アルバート; クルス、ユルゲン; モレノ、ヤミール; 周、チャンソン (2008)、「複雑ネットワークにおける同期」、Physics Reports、469 (3): 93–153、arXiv : 0805.2976、Bibcode :2008PhR...469...93A、doi :10.1016/j.physrep.2008.09.002、S2CID  14355929。
• Pecora, Louis M.; Carroll, Thomas L. (1998)、「同期結合システムのマスター安定性関数」、Physical Review Letters、80 (10): 2109–2112、Bibcode :1998PhRvL..80.2109P、doi :10.1103/PhysRevLett.80.2109。