優越化

優越化は、制約付き最適化のための反復法です。これは、特定の種類の摂動に対して収束が回復力のある反復法の有効性を向上させるために使用されます。このような摂動は、摂動されたアルゴリズムが、元の反復アルゴリズムによって生成される結果よりも、目的のアプリケーションにとってより有用な結果を生成するように「強制」するように設計されています。摂動されたアルゴリズムは、元の摂動されていないアルゴリズムの優越化バージョンと呼ばれます。元のアルゴリズムが計算上効率的で、対象アプリケーションに関して有用であり、摂動の計算コストが低ければ、この方法を使用して、追加の計算コストをかけずに反復を制御できます。

優越化手法は非常に一般的であり、投影からの画像の反復再構成、 ^{[1] [2] [3]} 単光子放出コンピュータ断層撮影、^[4] 放射線治療^{[5] [6] [7]}および非破壊検査^[8]など、多くの重要な実用アプリケーションで効果的に使用されてきた。ジャーナルInverse Problems ^{[9]の特別号は、優越化の理論[10] [11] [12]}とアプリケーションの両方に特化している。^{[3] [6] [7]}

優越化の重要なケースは、元のアルゴリズムが「実現可能性を追求する」（一連の制約と互換性のある実現可能な領域内の何らかの点を見つけようとするという意味で）ものであり、元の反復アルゴリズムに導入される摂動が、特定のメリット関数を削減する（必ずしも最小化するわけではない）ことを目的としている場合です。この場合、優越化は最適化の理論と実践において独特の位置を占めます。

多くの制約付き最適化法は、制約に対処するために適応された制約なし最適化法に基づいています。たとえば、制約なし最小化内部ステップがプロセスを「リード」し、各最小化ステップの後に制約セット全体 (実行可能領域) への投影が実行されて実行可能性が回復される投影勾配法のクラスがこれにあたります。制約セットへのこの投影は、それ自体が重要な最適化問題であり、反復ごとに解決する必要があるため、投影勾配法は妨げられ、その有効性は「投影が簡単」な実行可能セットのみに制限されます。バリア法やペナルティ法も同様に、制約なし最適化と、制約が保持されることを保証するさまざまな「アドオン」の組み合わせに基づいています。正規化法は、制約を「正規化された」目的関数に埋め込み、新しい正規化された目的関数に対して制約なしの解決法を実行します。

これらのアプローチとは対照的に、優越化手法は対極的な考え方と見ることができます。制約の処理に制約のない最小化アルゴリズムを適用する代わりに、実現可能性探索アルゴリズムを適用してメリット関数の値を減らします。これは、アルゴリズムの実現可能性探索の性質を維持しながら、高い計算コストを支払うことなく行われます。さらに、大規模な制約セットとメリット関数の反復アルゴリズムを自動的に優越化する汎用アプローチが開発されており、これらは多くのアプリケーション タスクにアルゴリズムを提供します。

優越化の方法論とアルゴリズムの摂動耐性については、^{[13] [14] [15]}も参照してください。^[16]優越化に関する現在の研究は、継続的に更新されるインターネットページから評価できます。^[17] SNARK14 ^[18]は、1D投影から2D画像を再構成するためのソフトウェアパッケージであり、任意の反復アルゴリズムを任意のメリット関数に対して優越化する機能が組み込まれています。