二次多項式

数学では、密度に関して直交する多項式の列に関連付けられた二次多項式は 次のように定義されます。 ${\displaystyle \{q_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

${\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$^[1]

関数が多項式であることを確認するために、次の簡単な例を考えてみましょう。 ${\displaystyle q_{n}(x)}$${\displaystyle p_{0}(x)=x^{3}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}}$

これは、 （密度のモーメント）の3つの積分が収束することを条件とする多項式です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \rho }$

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