シュタールの定理

行列解析 におけるシュタールの定理は、2011年にハーバート・シュタールによって証明された、特殊行列関数のラプラス変換に関する定理です。^[1]これは、1975年にダニエル・ベシス、ピエール・ムーサ、マルセル・ヴィラニによるベッシス・ムーサ・ヴィラニ（BMV）予想として始まりました。^{[2] 2004年に}エリオット・H・リーブとロバート・セイリンガーは、 BMV予想の2つの重要な再定式化を示しました。^[3] 2015年にアレクサンドル・エレメンコは、シュタールの定理の簡略化された証明を示しました。^[4]

2023年、オッテ・ヘイナヴァーラは、軌跡結合スペクトル測度を導入したエルミート行列の構造定理を証明し、その結果としてシュタールの定理が導かれた。^[5]

を行列のトレースとします。と がエルミート行列でが半正定値行列である場合、をすべての実数 に対して定義します。 すると、 は上の非負のボレル測度のラプラス変換として表すことができます。 言い換えると、すべての実数 に対して、 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {f} (t)=\operatorname {tr} (\exp(A-tB))}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \mathbf {f} }$( t ) = 、${\displaystyle \int _{[0,\infty )}e^{-ts}\,d\mu (s)}$

およびに依存する非負の測度について。^[6]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$