空間重み行列

空間重みの概念は、空間分析において地図上の領域間の隣接関係を記述するために使用される。^{[ 1 ]}位置${\displaystyle i}$場所の近隣${\displaystyle j}$それから${\displaystyle w_{ij}\neq 0}$さもないと${\displaystyle w_{ij}=0}$通常（常にではないが）、サイトをそれ自身の隣人とはみなさない^{[ 2 ]}ので${\displaystyle w_{ii}=0}$これらの係数は空間重み行列に符号化されている。

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}&\ldots &w_{1N}\\w_{21}&w_{22}&\ldots &w_{2N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\w_{N1}&w_{N2}&\ldots &w_{NN}\\\end{pmatrix}}}$

どこ${\displaystyle N}$は検討対象のサイト数です。空間重み行列は、モランの I、ギアリーの C、ゲティス・オード統計、結合カウント統計など、多くの空間指標の計算における重要な量です。

このアプローチでは、空間サイトをグラフのノードとみなし、リンクは共有境界または頂点によって決定される。^{[ 3 ]}空間重み行列の要素は、設定によって決定される。${\displaystyle w_{ij}=1}$接続されているすべてのノードペアについて${\displaystyle ij}$他のすべての要素を0に設定する。これにより、空間重み行列は対応するネットワークの隣接行列と等しくなる。行列を行正規化するのが一般的である^{[ 2 ]。}${\displaystyle W}$、

${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}/\sum _{j}w_{ij}}$

この場合、すべての要素の合計は${\displaystyle W}$等しい${\displaystyle N}$サイトの数。

サイトをリンクするための一般的な方法は3つあり^{[ 3 ]、}それぞれ似たような動きをするチェスの駒にちなんで名付けられています。

• ルーク：辺を共有するサイトは隣接している。
• ビショップ：頂点を共有するサイトは隣接している。
• クイーン：サイトは、辺または頂点を共有している場合、隣接している。

場合によっては、統計は使用する定義によって大きく異なることがあり、特にグリッド上の離散データではその傾向が顕著です。^{[ 3 ]}また、近隣の選択が明確ではなく、分析結果に影響を与えるケースもあります。BivandとWong ^{[ 4 ]は、}モランのIのような空間的関連性指標の値が、郡間のフェリーの通過を含めるか除外するかによって決まる状況について述べています。さらに、RookとQueenの近隣が異なる三点または四点で地域が接するケースもあります。

空間的な近隣を定義するもう1つの方法は、サイト間の距離に基づいています。簡単な選択肢の1つは、${\displaystyle w_{ij}=1}$すべてのペアについて${\displaystyle (i,j)}$ある閾値よりも小さい距離で隔てられている${\displaystyle \delta }$[ ^{5 ]}クリフとオード^{[ 1 ]は}一般的な形式を提案している

${\displaystyle w_{ij}=g(d_{ij},\beta _{ij})}$

どこ${\displaystyle g}$は何らかの関数である${\displaystyle d_{ij}}$間の距離${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$そして${\displaystyle \beta _{ij}}$は、周囲長の割合です。${\displaystyle i}$連絡を取っている${\displaystyle j}$. 機能

${\displaystyle w_{ij}=d_{ij}^{-\alpha }\beta _{ij}^{b}}$

次に提案されるのは${\displaystyle \beta }$用語は含まれておらず、最も一般的な値は${\displaystyle \alpha }$1と2です。^{[ 3 ]}距離減衰関数のもう1つの一般的な選択肢は^{[ 6 ]です。}

${\displaystyle w_{ij}=\exp(-d_{ij})}$

ただし、さまざまなカーネル関数を使用できます。指数関数やその他のカーネル関数は通常、次のように設定されます。${\displaystyle w_{ii}=1}$これは申請時に考慮しなければならない事項である。

空間重み行列を「距離クラス」の関数にすることが可能である。^{[ 7 ]}${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}(d)}$どこ${\displaystyle d}$は「距離クラス」を表します。${\displaystyle d=1,2,3,\ldots }$1番目、2番目、3番目などの近傍に対応します。この場合、空間重み行列の関数は距離クラスに依存します。たとえば、モランのIは

${\displaystyle I(d)={\frac {N}{|W(d)|}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(d)(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

これは空間相関図の一種を定義するものであり、この場合、モランのIは空間自己相関を測定するため、${\displaystyle I(d)}$これは、データの自己相関が距離クラスの関数としてどのように変化するかを測定するものです。トブラーの地理学の第一法則「すべては他のすべてと関連しているが、近いものほど遠いものよりも関連性が高い」を思い出すと、通常は距離とともに減少します。

一般的な距離関数には、ユークリッド距離、マンハッタン距離、大円距離などがあります。^{[ 5 ]}

空間重み行列の応用例の1つは、空間ラグを計算することである^{[ 8 ]。}

${\displaystyle [Wx]_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{j}}$

行標準化された重みは、最初は次のように設定されています。${\displaystyle w_{ij}=1}$そして${\displaystyle w_{ii}=0}$、${\displaystyle [Wx]_{i}}$は、の近傍で観測された平均値です。${\displaystyle i}$これらのラグ変数は、回帰分析において、結果変数と近隣地点の値との依存関係を組み込むために使用できます。 ^{[ 9 ]} 標準的な回帰方程式は次のとおりです。

${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

空間ラグモデルはこれに空間ラグベクトルを追加します。

${\displaystyle y_{i}=\rho \sum _{j}w_{ij}y_{j}+\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

どこ${\displaystyle \rho }$は、自己相関の度合いを制御するパラメータです。${\displaystyle y}$[ ^{10 ]これは}時系列分析における自己回帰モデルに似ています。

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