参加カウント統計

結合カウント統計は、空間マップ上に分布するカテゴリ変数の関連度、特に自己相関を評価するために使用される空間分析手法です。この手法は、もともとオーストラリアの統計学者PAP Moranによって導入されました。^[1]結合カウント統計は、計量経済学^[2]、リモートセンシング^[3]、生態学^[4]で広く使用されています。結合カウント統計は、PASSaGE、 ^[5]、GeoDA、PySAL ^[6]、spdepなどの多くのソフトウェアパッケージで計算できます。 ^[7]

空間サイトに分散されたバイナリデータ が与えられ、領域間の隣接関係は空間重み行列にエンコードされます ${\displaystyle x_{i}\in \{0,1\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{ij}={\begin{cases}1\qquad &i{\text{ }}j の近傍\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

参加カウント統計は次のように定義される^{[8] [4]}

${\displaystyle J=J_{BB}+J_{BW}+J_{WW}}}$

どこ

${\displaystyle J_{BB}={\frac {1}{2}}\sum _{ij,i\neq j}w_{ij}x_{i}x_{j}}$

${\displaystyle J_{BW}={\frac {1}{2}}\sum _{ij,i\neq j}w_{ij}(x_{i}-x_{j})^{2}}$

${\displaystyle J_{WW}={\frac {1}{2}}\sum _{ij,i\neq j}w_{ij}(1-x_{i})(1-x_{j})}$

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\sum _{ij,i\neq j}w_{ij}}$

下付き文字は、「黒」= 1 および「白」= 0 のサイトを示します。この関係は、4 つの数値のうち 3 つだけが独立していることを意味します。一般的に、およびの相対的な値が大きい場合は自己相関を意味し、の相対的な値が大きい場合は反相関を意味します。 ${\displaystyle B,W}$${\displaystyle J=J_{BB}+J_{BW}+J_{WW}}}$${\displaystyle J_{BB}}$${\displaystyle J_{WW}}$${\displaystyle J_{BW}}$${\displaystyle J_{BW}}$

これらの統計量の統計的有意性を評価するために、さまざまな帰無モデルにおける期待値が計算されている。^[9]たとえば、帰無仮説が、各サンプルが確率

${\displaystyle p={\frac {\text{黒セルの数}}{N}}={\frac {N_{1}}{N}}}$

クリフとオード^[8]は、

${\displaystyle E(J_{BB})={\frac {1}{2}}S_{0}p^{2}}$

${\displaystyle var(J_{BB})={\frac {p^{2}(1-p)}{4}}([S_{1}(1-p)+S_{2}p])}$

${\displaystyle E(J_{BW})=S_{0}p(1-p)}$

${\displaystyle var(J_{BW})={\frac {p(1-p)}{4}}[4S_{1}+S_{2}(1-4p(1-p))]}$

どこ

${\displaystyle S_{0}=\sum _{ij}w_{ij}}$

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}(w_{ji}+w_{ij})^{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}(\sum _{j}w_{ji}+\sum _{j}w_{ij})^{2}}$

しかし実際には^[10]、ランダム順列に基づくアプローチの方が、より少ない仮定を必要とするため好まれます。

アンセリンとリーは、アンセリンの空間的関連性の局所指標（LISA）[ ^{13 ]の一般的な考え方に従って、}局所結合カウント統計量の概念を導入した^{[11] [12]} 。局所結合カウントは、例えば次のように定義される。

${\displaystyle J_{BBi}=x_{i}\sum _{j}w_{ij}x_{j}}$

およびについても同様の定義があります。これはバイナリデータで計算されたGetis-Ord統計量と同等です。局所統計量の期待値に関する解析結果は超幾何分布に基づいていくつか得られますが^{[11] 、}多重比較の問題があるため、実際には順列ベースのアプローチが好まれます。^[12]${\displaystyle BW}$${\displaystyle WW}$

カテゴリ結合カウント統計が一般化されている^{[4] [8] [9]}${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle J_{rs}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}I_{r}(x_{i})I_{s}(x_{j})}$

ここで、はカテゴリに属する​​変数の指標関数です。解析結果は^[14]で入手可能であり、バイナリの場合と同様に、置換アプローチを使用して有意性をテストすることもできます。 ${\displaystyle I_{r}(x_{i})=\delta _{r,x_{i}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle r}$