スルツキーの定理

確率論において、スルツキーの定理は、実数の収束列に対する代数演算のいくつかの性質を確率変数の列に拡張する。^{[ 1 ]}

この定理はオイゲン・スルツキーにちなんで名付けられました。^{[ 2 ]}スルツキーの定理はハラルド・クラメールにも帰せられています。^{[ 3 ]}

させて${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$スカラー/ベクトル/行列のランダム要素のシーケンスである。 ${\displaystyle X_{n}}$分布がランダムな要素に収束する${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y_{n}}$確率的に定数に収束する${\displaystyle c}$、 それから

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$ cがゼロでないことを条件として、

どこ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$は分布の収束を表します。

注：

1. Y _{n が}定数に収束するという条件は重要である。もし非退化確率変数に収束するならば、この定理はもはや有効ではなくなる。例えば、${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$そして${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$合計${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$nのすべての値に対して。さらに、${\displaystyle Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)}$、 しかし${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$分布は収束しない${\displaystyle X+Y}$、 どこ${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$、${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$、 そして${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$独立している。^{[ 4 ]}
2. 分布収束をすべて確率収束に置き換えても、この定理は依然として有効である。

この定理は、X _{n が}分布収束してXになり、Y _{n が}確率収束して定数cになる場合、結合ベクトル ( X _n , Y _n ) が分布収束して ( X , c ) になるという事実から導かれる (ここを参照)。 

次に、連続写像定理を適用し、関数g ( x , y )  = x + y、g ( x , y ) = xy、およびg ( x , y ) = x y ⁻¹が連続であることを確認します (最後の関数が連続であるためには、y が可逆である必要があります)。       

• 確率変数の収束

• カセラ、ジョージ；バーガー、ロジャー L. (2001).統計的推論. パシフィックグローブ：ダックスベリー. pp. 240–245 . ISBN  0-534-24312-6。
• グリメット、G.、スターザカー、D. (2001).確率とランダム過程（第3 版）. オックスフォード。
• 林文雄（ 2000）『計量経済学』プリンストン大学出版局、 92-93頁。ISBN  0-691-01018-8。