シンクホーンの定理

シンクホーンの定理は、正の要素を持つすべての正方行列は、ある特定の標準形式で表すことができると述べている。

A が厳密に正の要素を持つn × n行列である場合、厳密に正の対角要素を持つ対角行列D ₁とD _{2が存在し、} D ₁ AD _2は二重に確率的である。行列D ₁とD ₂は、最初の行列に正の数を掛け、2 番目の行列を同じ数で割る操作を除いて一意である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

二重確率行列にアプローチする単純な反復法は、行列Aのすべての行とすべての列を交互に再スケーリングして合計を 1 にすることです。Sinkhorn と Knopp はこのアルゴリズムを発表し、その収束を分析しました。^{[ 3 ]}これは基本的に、調査統計でよく知られている反復比例フィッティングアルゴリズム と同じです。Sinkhorn–Knopp アルゴリズムの収束は広範囲にわたって研究されています^{[ 4 ] 。これらの基礎研究に続いて、Arnoldi 型メソッド[ 5 ]}など、そのパフォーマンスを向上させるためのいくつかの加速手法が提案されています。

ユニタリ行列についても同様のことが言えます。すべてのユニタリ行列Uに対して、 LURの各列と行の合計が 1 になるような2 つの対角ユニタリ行列LとRが存在します。 ^{[ 6 ]}

行列間の写像に対する以下の拡張も真である（定理 5 ^{[ 7 ]}および定理 4.7 ^{[ 8 ]}を参照）：密度行列を別の密度行列に写像 する量子操作 Φ を表すKraus 演算子が与えられた場合、

${\displaystyle S\mapsto \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},}$

それは痕跡を保存するものであり、

${\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,}$

さらに、その値域が正定錐の内部にある場合（厳密な正値性）、 {0,1} のjに対して、正定値となるスケーリングx _jが存在し、再スケーリングされたクラウス演算子は

${\displaystyle S\mapsto x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}$

は二重に確率的である。言い換えれば、両方とも、

${\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}$

随伴についても同様に、

${\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}$

ここで、Iは恒等演算子を表す。

2010年代には、シンクホーンの定理がエントロピー正則化最適輸送問題の解を見つけるために使われるようになりました。^{[ 9 ]}このような「シンクホーン距離」はデータ分布と順列の差を評価するために使用できるため、機械学習において注目されています。 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}これにより、最尤法による学習が最良の方法ではない状況でも、機械学習アルゴリズムの学習が改善されます。