類似性（信号処理）

信号処理の分野では、2 つの異なる信号間の類似性は重要です。以下は類似性を計算するための一般的な方法です。

たとえば、 および として表される 2 つの信号を考えてみましょう。ここ で、および です。${\displaystyle x[m,n]}$${\displaystyle y[m,n]}$${\displaystyle m=0,1,2,...,M-1}$${\displaystyle n=0,1,2,...,N-1}$

2つの信号間の差の最大の大きさを測定します。最大誤差は、予測精度の最悪のシナリオを評価するのに役立ちます。

${\displaystyle ME=\max(\left|y[m,n]-x[m,n]\right|)}$

2つの信号間の平均二乗差を測定します。最大誤差とは異なり、平均二乗誤差は誤差の全体的な大きさと広がりを考慮し、2つの信号間の差を包括的に評価します。^[1]

${\displaystyle MSE={\frac {1}{MN}}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}$

NMSE は MSE の拡張です。信号パワーで MSE を正規化することで計算され、異なるデータセットやスケール間での公平な比較が可能になります。

${\displaystyle NMSE={\frac {\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}{\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|x[m,n]\right|^{2}}}}$

二乗平均平方根偏差は、 MSE の平方根を取ることによって MSE から導出されます。MSE を縮小し、結果をよりよく理解するための、より解釈しやすく比較可能な尺度を提供します。

${\displaystyle RMSE={\sqrt {\frac {\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}{\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|x[m,n]\right|^{2}}}}}$

RMSE の拡張であり、さまざまなスケールの異なるデータセットとモデル間の信号比較を可能にします。

${\displaystyle NRMSE={\sqrt {\frac {\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}{\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|x[m,n]\right|^{2}}}}}$

信号処理では、信号対雑音比は信号電力と雑音電力の比として計算され、通常はデシベルで表されます。SNR が高いと信号がクリアであることを示し、SNR が低いと信号がノイズによって破損していることを示します。このコンテキストでは、信号 MSE はノイズと見なすことができ、2 つの信号間の類似性は次の式で表すことができます。

${\displaystyle SNR=10\log _{10}{\frac {\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|x[m,n]\right|^{2}}{\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}}}$

ピーク信号対雑音比は、信号の最大パワーをノイズに対して測定するために使用される指標です。画像信号では、画像内のピクセル強度が実際の信号値を直接表すわけではないため、この比が一般的に使用されます。代わりに、ピクセル強度は、白が255、黒が0で表されるなど、色の値に対応します。

• グレースケール画像:

${\displaystyle PSNR_{gray}=10\log _{10}{\frac {X_{max}^{2}}{{\frac {1}{MN}}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}}}$

• カラー画像:

${\displaystyle PSNR_{color}=10\log _{10}{\frac {X_{max}^{2}}{{\frac {1}{3MN}}\sum _{R,G,B}\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{2}}}}$

2 つのベクトル間の距離を測定するために使用される数学的概念。信号処理では、2 つの信号間の差を定量化するために L ノルムが使用されます。L1 ノルムはマンハッタン距離に対応し、L2 ノルムはユークリッド距離に対応します。

${\displaystyle \left\|y-x\right\|_{\alpha }=\left(\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{MN}}\left\|y-x\right\|_{\alpha }={\frac {1}{MN}}\left(\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}\left|y[m,n]-x[m,n]\right|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

構造類似性は、2つの画像信号間の類似性を測定するために特別に設計された類似性メトリックです。他の類似性測定とは異なり、SSIMは隣接するピクセル間の強い相互依存性を活用し、人間の視覚知覚と類似性の感覚に密接に一致する測定を提供します。^[1]

${\displaystyle {\hbox{SSIM}}(x,y)={\frac {(2\mu _{x}\mu _{y}+c_{1})(2\sigma _{xy}+c_{2})}{(\mu _{x}^{2}+\mu _{y}^{2}+c_{1})(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+c_{2})}}}$

と：

• ${\displaystyle \mu _{x}}$のピクセルサンプル平均;${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mu _{y}}$のピクセルサンプル平均;${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$の分散;​${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$の分散;​${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle \sigma _{xy}}$との共分散;${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle c_{1}=(k_{1}L)^{2}}$、弱い分母での除算を安定させるための 2 つの変数。${\displaystyle c_{2}=(k_{2}L)^{2}}$
• ${\displaystyle L}$ピクセル値のダイナミックレンジ（通常は）。${\displaystyle 2^{\#bits\ per\ pixel}-1}$
• ${\displaystyle k_{1}=0.01}$そしてデフォルトで。${\displaystyle k_{2}=0.03}$