シューアの不等式

数学において、イサイ・シューアにちなんで名付けられたシューアの不等式は、すべての非負の実数x、y、z、およびt>0に対して、

${\displaystyle x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yz)(yx)+z^{t}(zx)(zy)\geq 0}$

等号となるのは、 x = y = zであるか、または 2 つが等しく、もう 1 つが 0 である場合のみです。t が偶数の正の整数である場合、この不等号はすべての実数x、y、zに対して成立します。

のとき、次のよく知られた特殊なケースを導くことができます。 ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)}$

不等式は対称なので、一般性を失うことなく と仮定できる。すると不等式は ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$

${\displaystyle (xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(xz)(yz)\geq 0}$

不等式の左辺の項はすべて非負なので、明らかに成り立ちます。これは、シューアの不等式に変形されます。

シューアの不等式の一般化は次のようになります。a 、b、c が正の実数であるとします。3 つの数値(a、b、c)と(x、y、z)が同様にソートされている場合、次の不等式が成立します。

${\displaystyle a(xy)(xz)+b(yz)(yx)+c(zx)(zy)\geq 0.}$

2007 年、ルーマニアの数学者Valentin Vornicu は、シューアの不等式のさらに一般化された形が成り立つことを示しました。

を考えます。ここで、 および または です。、およびは凸または単調とします。すると、 ${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$${\displaystyle z\geq y\geq x}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle {f(x)(ab)^{k}(ac)^{k}+f(y)(ba)^{k}(bc)^{k}+f(z)(ca)^ {k}(cb)^{k}\geq 0}.}$

シュアーの不等式の標準形は、x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ ( m ) = m ^rの場合である。^[1]

もう一つの可能​​な拡張は、負でない実数と正の実数tがx  +  v  ≥  y  +  zとなるような場合、^[2]${\displaystyle x\geq y\geq z\geq v}$

${\displaystyle x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.}$