シュリヒティングジェット

シュリヒティング ジェットは、非常に高いレイノルズ数を持つ同じ種類の静止した流体に噴出する、安定した層流の円形ジェットです。この問題は、1933 年にヘルマン シュリヒティングによって定式化され解決されました。 ^[1]彼は、同じ論文で、対応する平面ビックレー ジェット問題も定式化しました。 ^[2]点源からのランダウ-スクワイア ジェットは、すべてのレイノルズ数に対して有効なナビエ-ストークス方程式の正確な解であり、ジェットの原点から離れた距離では、高レイノルズ数でシュリヒティング ジェットの解に簡約されます。

円筒極座標の原点に位置するオリフィスから噴出する軸対称ジェットを考えてみましょう。はジェット軸、 は対称軸からの半径距離です。ジェットは一定圧力下にあるため、方向の運動量フラックスは一定で、原点の運動量フラックスに等しくなります。 ${\displaystyle (r,x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle J=2\pi \rho \int _{0}^{\infty }ru^{2}dr={\text{定数}},}$

ここで、は定数密度、はそれぞれと方向の速度成分、 は原点における既知の運動量フラックスです。この量は運動学的運動量フラックスと呼ばれます。境界層方程式は ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle (v,u)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle K=J/\rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv)}{\partial r}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial r}}&={\frac {\nu }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right),\end{aligned}}}$

ここで は動粘性である。境界条件は ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r=0:&\quad v=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial r}}=0,\\r\rightarrow \infty :&\quad u=0.\end{aligned}}}$

ジェットの レイノルズ数、

${\displaystyle Re={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {J}{2\pi \rho }}\right)^{1/2}={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {K}{2\pi }}\right)^{1/2}\gg 1}$

シュリヒティングジェットにとっては大きな数値です。

提示された問題には自己相似解が存在する。自己相似変数は

${\displaystyle \eta ={\frac {r}{x}},\quad u={\frac {\nu }{x}}{\frac {F'(\eta )}{\eta }},\quad v={\frac {\nu }{x}}\left[F'(\eta )-{\frac {F(\eta )}{\eta }}\right].}$

すると境界層方程式は次のように簡約される。

${\displaystyle \eta F''+FF'-F'=0}$

境界条件 が成り立つ。が解ならば、も解である。 における条件を満たす特定の解は次のように与えられる。 ${\displaystyle F(0)=F'(0)=0}$${\displaystyle F(\eta )}$${\displaystyle F(\gamma \eta )=F(\xi )}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle F={\frac {4\xi ^{2}}{4+\xi ^{2}}}={\frac {4\gamma ^{2}\eta ^{2}}{4+ \ガンマ ^{2}\イータ ^{2}}}.}$

定数は運動量条件から評価できる。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {3J}{16\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {3{\rm {Re}}^{2}}{8 }}.}$

したがって解決策は

${\displaystyle F(\eta )={\frac {4({\rm {Re}}\,\eta )^{2}}{32/3+({\rm {Re}}\,\eta ) ^{2}}}.}$

運動量フラックスとは異なり、体積流量は一定ではなく、ジェットによる外部流体のゆっくりとした巻き込みにより増加する。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q=2\pi \int _{0}^{\infty }rudr=8\pi \nu x,}$

軸に沿った距離とともに直線的に増加する。シュナイダー流れは、ジェットの巻き込みによって誘発される流れを表す。^[3]

圧縮性流体のシュリヒティングジェットはMZ Krzywoblocki ^[4]とDC Pack ^[5]によって解明されています。同様に、旋回運動を伴うシュリヒティングジェットはH. Görtler ^{[6]によって研究されています。}

• ランドー・スクワイアジェット
• シュナイダーフロー
• ビックレージェット