サミュエルソンの不等式

統計学において、サミュエルソンの不等式は、経済学者ポール・サミュエルソンにちなんで名付けられ、^[1]また数学者エドモンド・ラゲールにちなんでラゲール・サミュエルソンの不等式[ ^{2] [3]とも呼ばれ、任意の集合}x ₁、...、  x _nのすべてが、その標本平均の補正されていない標本標準偏差√n−1以内にあることを示してい ます。

もし私たちが

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

標本平均であり、

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

標本の標準偏差とすると、

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{j=1,\dots ,n の場合}$^[4]

左（または右）の等式が成り立つのは、以外のすべてのn  − 1が互いに等しく、 より大きい（小さい）場合のみである^[2]${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{j}.}$

代わりに定義すると、不等式は依然として適用され、わずかに厳密化される。${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}}$${\displaystyle {\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.}$

チェビシェフの不等式は、データの特定の部分を特定の境界内に配置しますが、サミュエルソンの不等式は、すべてのデータ ポイントを特定の境界内に配置します。

チェビシェフの不等式によって与えられる境界はデータ ポイントの数によって影響を受けませんが、サミュエルソンの不等式の場合、サンプル サイズが増加すると境界は緩くなります。したがって、十分に大きなデータ セットの場合、チェビシェフの不等式の方が便利です。

サミュエルソンの不等式は、統計学や数学においてさまざまな用途があります。残差の分析に役立ち、回帰分析における残差の広がりをよりよく理解するために、このプロセスを外部で実行する必要がある理由の根拠を示します。

行列理論では、サミュエルソンの不等式を使用して、特定の行列とテンソルの固有値を特定します。

さらに、この不等式の一般化は、確率空間内の複素データやランダム変数にも適用される。^{[5] [6]}

この関係を記述したのはサミュエルソンが初めてではない。おそらく最初に記述したのはラゲールで、1880年に多項式の根（零点）を調査していたときだったと思われる。^{[2] [7]}

すべての根が実数である多項式を考えます。

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

一般性を失うことなく、 ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle t_{1}=\sum x_{i}}$そして${\displaystyle t_{2}=\sum x_{i}^{2}}$

それから

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}}$

そして

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ where }}i<j}$

係数に関して

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

ラゲールは、この多項式の根が次のように制限されることを示した。

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}}$

どこ

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}}$

調べてみると、 は根の平均であり、 b は根の標準偏差である ことがわかります。${\displaystyle -{\tfrac {a_{1}}{n}}}$

ラゲールは、根の平均値と標準偏差との関係に気付かず、境界自体に関心を持っていました。この関係により、根の境界を迅速に推定でき、根の位置を知るのに役立つ可能性があります。

係数と が両方ともゼロのときは、定数項もゼロでない限り、すべての根が実数であるとは限ら ないため (デカルトの符号規則からわかるように)、根の位置に関する情報は得られません。${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$