リッツの建設

リッツの軸作図法は、共役な 2 つの半直径から始めて、楕円の軸、長半径と短半径、および頂点を見つける記述幾何学の基本的な方法です。楕円の中心と半軸が決まると、楕円は楕円図法または手で描くことができます (楕円を参照)。

リッツの構築はユークリッド幾何学の古典的な構築であり、補助としてコンパスと定規のみが許可されています。この設計は、発明者であるデイヴィッド・リッツ・オブ・ブルッグ (1801–1868) にちなんで名付けられました。

共役直径は、円または楕円を平行に投影した場合 (光線が平行)、常に円の直交直径のイメージ (2 番目の図を参照) または楕円の軸のイメージとして表示されます。2 つの共役直径の重要な特性は、1 つの直径の楕円点の接線が 2 番目の直径に平行であることです (2 番目の図を参照)。 ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$

一般的に楕円である円の平行投影（斜めまたは正投影）。線分が像となる特殊なケースは省略します。記述幾何学における基本的なタスクは、このような円の像を描くことです。図は、立方体の 3 つの面に 3 つの円がある立方体の軍事投影を示しています。軍事投影の像面は水平です。つまり、上部の円は真の形（円）で表示されます。他の 2 つの面にある円の像は、明らかに軸が不明な楕円です。しかし、いずれにしても、円の 2 つの直交直径の像は認識できます。これらの楕円の直径はもはや直交ではありませんが、円の直交直径の像としては共役です（一方の直径の端点の接線は、もう一方の直径と平行です）。これは記述幾何学における標準的な状況です。

• 楕円からは、中心と2 つの共役直径上の 2 つの点がわかります。${\displaystyle C}$${\displaystyle P,Q}$
• タスク: 楕円の軸と半軸を見つけます。

(1) 点を90° 回転します。( 2)線分 の 中心を決定します。 (3)を通る中心を持つ 直線と円を描きます。円と直線 を交差させます。交点は です。 (4) 直線と は楕円 の軸です。 (5) 線分 は、点 を生成する長さ の紙片と考えることができます(楕円を参照) 。したがって、 と は半軸です。(の場合、 は長軸です。) (6) 頂点 と 共頂点 はわかっており、楕円 は のいずれかの描画方法 によって描くことができます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$
${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$
${\displaystyle P'Q}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A,B}$
${\displaystyle CA}$${\displaystyle CB}$
${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle a=|AQ|}$${\displaystyle b=|BQ|}$${\displaystyle a>b}$${\displaystyle a}$

点 を左折すると、構成は 2 番目の紙片法(次のセクションの 2 番目の図を参照) を示し、は依然として真です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle a=|AQ|}$${\displaystyle b=|BQ|}$

標準的な証明は幾何学的に行われます。^[1]別の証明では解析幾何学を使用します。

証明は、次のことを証明できれば完了です。

• 直線と楕円の軸の交点は、中心を通る円上にあるので、およびであり、${\displaystyle U,V}$${\displaystyle P'Q}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U=A}$${\displaystyle V=B}$${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

（１）任意の楕円は、適切な座標系でパラメトリックに表現することができる。

${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\;b\sin t)^{T}}$。

2 つの点が 共役直径上にある場合(楕円: 共役直径 を参照)。${\displaystyle {\vec {p}}(t_{1}),\ {\vec {p}}(t_{2})}$${\displaystyle t_{2}-t_{1}=\pm {\tfrac {\pi }{2}}\ .}$

（２） とすると、${\displaystyle Q=(a\cos t,\;b\sin t)}$

${\displaystyle P=(a\cos(t+{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t+{\tfrac {\pi }{2}}))=(-a\sin t,b\cos t)}$

共役直径上の 2 つの点。

すると、線分の中点は となります。${\displaystyle P'=(b\cos t,a\sin t)}$${\displaystyle {\overline {P'Q}}}$${\displaystyle D=\left({\tfrac {a+b}{2}}\cos t,{\tfrac {a+b}{2}}\sin t\right)}$

（３）直線には方程式がある${\displaystyle P'Q}$${\displaystyle x\sin t+y\cos t=(a+b)\;\cos t\sin t\ .}$

この直線と楕円の軸の交点は

${\displaystyle U=\left(0,\;(a+b)\sin t\right)\ ,\quad V=\left((a+b)\cos t,\;0\right)\ .}$

（４）点は中心と半径を持つ円上にあるため${\displaystyle |UD|=|VD|=|CD|}$${\displaystyle U,V,C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle |CD|\ .}$

したがって ${\displaystyle A=U,\ B=V\ .}$

（５）：${\displaystyle |UQ|=a,\quad |VQ|=b\ .}$

証明では点の右折を使用し、第 1 の紙片法を示す図を導きます。 ${\displaystyle P}$

点 を左折すると、結果 (4) と (5) は依然として有効であり、構成は第 2 の紙片法を示します(図を参照)。 を使用する場合、構築と証明はどちらでも機能します。 ${\displaystyle P}$
${\displaystyle P=(a\cos(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}),\;b\sin(t{\color {red}-}{\tfrac {\pi }{2}}))=(a\sin t,-b\cos t)}$

コンピュータの助けを借りて楕円の頂点を見つけるには、

• 3 つの点の座標を知る必要があります。${\displaystyle C,P,Q}$

単純なアイデアとしては、上記の手順を実行するプログラムを書くことができます。より良いアイデアとしては、任意の楕円の表現をパラメトリックに使用することです。

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\ .}$

(中心)と(2つの共役な半直径) があれば、点を計算して楕円を描くことができます。${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {OC}}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\vec {CP}},\;{\vec {f}}_{2}={\vec {CQ}}}$

必要であれば、楕円の 4 つの頂点を取得します。${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi )\ .}$

• リッツの建設のアニメーション