混合則

一軸引張を受ける複合材料について考えてみましょう。${\displaystyle \sigma _{\infty }}$フォークトの仮定の下では、2つの構成要素のひずみは等しいとモデル化します。繊維強化複合材料の文脈では、これは繊維方向に沿った印加ひずみと解釈できます。一軸引張に対するフックの法則は次のようになります。

どこ$\displaystyle \sigma _{1}}$そして$\displaystyle \sigma _{2}}$はそれぞれ構成要素１と２の応力であり、均質化ひずみを次のように定義する。$\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$応力は単位面積あたりの力であることを考慮すると、力のつり合いから次の式が得られる。

式1と式2を組み合わせると、次の式が得られます。

$\displaystyle {\overline {E}}_{V}{\overline {\epsilon }}=fE_{1}\epsilon _{1}+\left(1-f\right)E_{2}\epsilon _{2}.}$

最後に、$\displaystyle {\overline {\epsilon }}=\epsilon _{1}=\epsilon _{2}}$複合材料の全体的な弾性率は次のように表すことができます^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\overline {E}}_{V}=fE_{1}+\left(1-f\right)E_{2}.}$

2つの材料のポアソン比が同じであると仮定すると、これは複合材料の弾性率の上限を表します。^{[ 7 ]}

あるいは、2つの構成要素の応力が等しいと仮定することもできます。$\displaystyle \sigma _{\infty }=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$これは、2 つの構成要素が直列に荷重を受けることに対応し、繊維強化複合材料の文脈では、おおよそ横方向の荷重に相当します。この場合、全体のひずみは次のように分布します。

$\displaystyle {\overline {\epsilon }}=f\epsilon _{1}+\left(1-f\right)\epsilon _{2}.}$

材料全体の弾性率は次のように表される。

$${\displaystyle {\overline {E}}_{R}={\frac {\sigma _{\infty }}{\overline {\epsilon }}}={\frac {\sigma _{1}}{f\epsilon _{1}+\left(1-f\right)\epsilon _{2}}}=\left({\frac {f}{E_{1}}}+{\frac {1-f}{E_{2}}}\right)^{-1}}$$

以来$\displaystyle \sigma _{1}=E_{1}\epsilon _{1}}$、$\displaystyle \sigma _{2}=E_{2}\epsilon _{2}}$[ ^{6 ]​}

等ひずみと等応力の間の任意の荷重条件に対する一般化された方程式は次のように記述できます。^{[ 8 ]}

${\displaystyle ({\overline {E}})^{k}=f(E_{1})^{k}+(1-f)(E_{2})^{k}}$

ここで、kは1から-1までの値である。

n種類の異なる材料の混合物を含む複合材料の場合、それぞれの材料特性は${\displaystyle E_{i}}$および体積分率${\displaystyle V_{i}}$、 どこ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{V_{i}}=1,}$

すると、混合則から次の式が得られることが示される。

${\displaystyle {\overline {E}}=\sum _{i=1}^{n}{V_{i}E_{i}}}$

そして、混合則の逆法則は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{\overline {E}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {V_{i}}{E_{i}}}.}$

最後に、 n成分系に対する混合則と逆混合則の組み合わせに一般化すると、次のようになる。

${\displaystyle ({\overline {E}})^{k}=\sum _{i=1}^{n}V_{i}(E_{i})^{k}}$