ルフィニの法則

数学において、ルフィニの法則は、多項式をx – rの形の二項式でユークリッド除算する方法である 。 1809年にパオロ・ルフィニによって記述された。^{[1]この法則は、}除数が線形因数である 合成除算の特殊なケースである。

この規則は多項式を分割する方法を確立します。

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

二項式によって：

${\displaystyle Q(x)=xr}$

商多項式を得るには：

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.}$

このアルゴリズムは、実際にはP ( x )をQ ( x ) で割る長除算です。

P ( x ) をQ ( x ) で割るには次のようにします。

1. P ( x )の係数を順番に書き出します。次に、線のすぐ上の左下端に r を書きます。

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. 一番左の係数 ( a _n ) を線の真下に渡します。

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. 線の下の一番右の数字にr を掛けて、その数字を線の上に、1つ右の位置に書きます。

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. 同じ列に配置された 2 つの値を加算します。

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. 数字がなくなるまで手順 3 と 4 を繰り返します。

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

b の値は結果の多項式 ( R ( x ) ) の係数であり、その次数はP ( x ) の次数より 1 小さくなります。最終的に得られる値sは剰余です。多項式剰余定理は、剰余がrにおける多項式の値であるP ( r )に等しいことを主張します。

上で説明した多項式除算の例を次に示します。

させて：

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

P ( x ) はルフィニの定理を使ってQ ( x )で割られる。主な問題は、Q ( x ) がx − rの形の二項式ではなく、x + rであるということである。Q ( x ) は次のように書き直す必要がある。

${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!}$

ここでアルゴリズムが適用されます:

1. 係数とr を書き出します。P ( x ) にはxの係数が含まれていないため、 0 と書きます。

        | 2 3 0 | -4
        | |               
     -1 | |               
    ----|---------|------
        | |               
        | |               
   

2. 最初の係数を下へ渡します。

        | 2 3 0 | -4
        | |               
     -1 | |               
    ----|---------|------
        | 2 |               
        | |               
   

3. 最後に得られた値にrを掛けます。

        | 2 3 0 | -4
        | |               
     -1 | -2 |                
    ----|---------|------
        | 2 |               
        | |               
   

4. 次の値を追加します。

        | 2 3 0 | -4
        | |
     -1 | -2 |
    ----|---------|------
        | 2 1 |
        | |               
   

5. 完了するまで手順 3 と 4 を繰り返します。

        | 2 3 0 | -4
        | |
     -1 | -2 -1 | 1
    ----|----------------------------
        | 2 1 -1 | -3
        |{結果係数}|{剰余}
   

つまり、元の数=除数×商+余りであれば、

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$、 どこ

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$そして${\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}$

ルフィニの定理は、多項式Pを次の形式の二項式で割った商が必要なときに使用できます(剰余のみが必要な場合は、多項式剰余定理によってより簡単な方法が提供されます)。 ${\displaystyle xr.}$

商が必要となる典型的な例は、根rがわかっている多項式の因数分解です。 ${\displaystyle p(x)}$

をrで割った余りは0であり、商がrの場合、ユークリッド除算は次のように表される。 ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x),}$

${\displaystyle p(x)=q(x)\,(xr).}$

これは、ルフィニの定理で計算できる（おそらく部分的な）因数分解を与える。そして、さらに因数分解することで因数分解できる。${\displaystyle p(x),}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x).}$

代数学の基本定理によれば、正の次数を持つすべての多項式は少なくとも1つの複素根を持つ。上記のプロセスは、代数学の基本定理がすべての多項式p ( x ) = a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + a ₁ x + a ₀が次のように因数分解できることを示している。

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

は複素数です。 ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

この方法は、イタリア科学協会 (40 協会) が主催したコンテストに参加したパオロ・ルッフィニによって発明されました。課題は、任意の多項式の根を求める方法を考案することでした。5 つの応募がありました。1804 年にルッフィニの作品が 1 位を獲得し、彼の方法が出版されました。彼はその後、1807 年と 1813 年に、この研究の改良版を出版しました。

• リル法、グラフ上で割り算を行う
• ホーナー法

• Weisstein, Eric W.「ルフィニの法則」。MathWorld。
• ウィキメディア・コモンズにおけるルッフィーニの統治に関連するメディア