回転粘度

粘性は通常、局所的な運動量差が平衡化する速度を決定する流体の特性として説明されます。回転粘性は、局所的な角運動量差が平衡化する速度を決定する流体の特性です。古典的なケースでは、等分配定理により、平衡時に粒子衝突が直線運動量だけでなく角運動量も伝達できる場合、これらの自由度は同じ平均エネルギーを持ちます。これらの自由度の間に平衡がない場合、平衡化の速度は回転粘性係数によって決まります。^{[1] : p.304}

回転粘性は、伝統的に、液晶などの流体粒子の回転自由度を必要とすると考えられてきました。これらの流体では、回転自由度により角運動量が局所的に緩和できる動的量になり、回転粘性につながります。しかし、最近の理論的研究^[2]では、異方性金属の粘性電子流体（ Gurzhi効果を参照）にも回転粘性が存在するはずであると予測されています。これらの場合、イオン格子は回転対称性を明示的に破り、電子流体にトルクを適用します。これは、角運動量の非保存と回転粘性を意味します。

流体要素の角運動量密度は、反対称テンソル ( ) または擬似ベクトルとして表されます。テンソルの場合、外力のない単純な流体の 角運動量保存の式は次のように表されます。${\displaystyle J_{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}J_{ij})}{\partial x_{k}}}=\left(x_{j}{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}-x_{i}{\frac {\partial P_{kj}}{\partial x_{k}}}\right)+(P_{ji}-P_{ij})}$

ここで、は流体の速度、は全圧力テンソル（または、全応力テンソルの負の値）です。アインシュタインの総和規則が使用され、対応するインデックスのペアについて総和が想定されることに注意してください。流体要素の角運動量は、流れによる外的角運動量密度（ ）と、流体粒子の質量中心の周りの回転による内的角運動量密度（ ）に分けることができます。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle P_{ij}}$${\displaystyle L_{ij}}$${\displaystyle S_{ij}}$

${\displaystyle J_{ij}=L_{ij}+S_{ij}}$

ここで、外在角運動量密度は、

${\displaystyle L_{ij}=\rho (x_{i}v_{j}-x_{j}v_{i})}$

は流体要素の質量密度です。線形運動量保存方程式は次のように表されます。 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i}v_{k})}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}}$

そして、これは次のことを意味することが示されます。

${\displaystyle {\frac {\partial L_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}L_{ij})}{\partial x_{k}}}=\left(x_{j}{\frac {\partial P_{ki}}{\partial x_{k}}}-x_{i}{\frac {\partial P_{kj}}{\partial x_{k}}}\right)}$

これを角運動量保存の式から引くと次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial S_{ij}}{\partial t}}+{\frac {\partial (v_{k}S_{ij})}{\partial x_{k}}}=P_{ji}-P_{ij}}$

この最後の項がゼロになる状況では、全圧テンソルは対称になり、角運動量保存方程式は線形運動量保存と重複します。ただし、粒子の内部回転自由度が流れに結合されている場合 (上記の式の速度項を介して)、全圧テンソルは対称ではなく、その反対称成分は流れと粒子の回転の間の角運動量交換の速度を表します。

この角運動量の輸送の線形近似では、流量は次のように表される: ^{[1] : p.308}

${\displaystyle P_{ij}-P_{ji}=-\eta _{r}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-2\omega _{ij}\right)}$

ここで、は回転粒子の平均角速度（擬似ベクトルではなく反対称テンソルとして）であり、は回転粘性係数です。 ${\displaystyle \omega_{ij}}$${\displaystyle \eta_{r}}$