ロビンスの代数

抽象代数学において、ロビンス代数とは、単一の二項演算を含む代数のことである。${\displaystyle \lor }$そして単一の単項演算${\displaystyle \neg }$以下の公理を満たすもの：^{[ 1 ]}

すべての要素a、b、cについて：

1. 連想性：${\displaystyle a\lor \left(b\lor c\right)=\left(a\lor b\right)\lor c}$
2. 可換性：${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$
3. ロビンスの方程式：${\displaystyle \neg \left(\neg \left(a\lor b\right)\lor \neg \left(a\lor \neg b\right)\right)=a}$

長年にわたり、すべてのロビンス代数はブール代数であると推測されていましたが、証明されていませんでした。これは1997年にウィリアム・マキューンによって証明され、^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}現在では「ロビンス代数」という用語は単に「ブール代数」の同義語となっています。

1933年、エドワード・ハンティントンはブール代数のための新しい公理系を提案した^{[ 4 ] [ 5 ]。}それは上記の(1)と(2)に加えて、以下のものから構成される。

• ハンチントン方程式：${\displaystyle \neg (\neg a\lor b)\lor \neg (\neg a\lor \neg b)=a.}$

ハンティントンはこれらの公理から、ブール代数の一般的な公理を導き出した。

その直後、ハーバート・ロビンスはロビンス予想を提唱した。それは、ハンティントン方程式をロビンス方程式と呼ばれるものに置き換えても、結果は依然としてブール代数になるという予想である。${\displaystyle \lor }$ブール結合を解釈し、${\displaystyle \neg }$ブール補数。ブール交点と定数0および1は、ロビンス代数の基本要素から容易に定義できます。予想の検証が保留されている間、ロビンスのシステムは「ロビンス代数」と呼ばれていました。

ロビンス予想を検証するには、ハンティントンの等式、あるいはブール代数の他の公理化を、ロビンス代数の定理として証明する必要があった。ハンティントン、ロビンス、アルフレッド・タルスキらはこの問題に取り組んだが、証明や反例を見つけることはできなかった。

• 代数構造
• ブール代数の最小公理

マキューンのEQPに関するウェブサイト