破滅論

保険数理科学および応用確率論において、破綻理論（リスク理論^[1]または集団リスク理論と呼ばれることもある）は、保険会社の支払不能/破綻に対する脆弱性を数学モデルを用いて説明する。このようなモデルでは、破綻の確率、破綻直前の剰余金の分配、破綻時の赤字が重要な関心事項となる。

クラメール・ルンドバーグモデル（または古典的複合ポアソンリスクモデル、古典的リスク過程^[2]、またはポアソンリスク過程）として知られる破産理論の理論的基礎は、1903年にスウェーデンの保険数理士フィリップ・ルンドバーグによって導入されました。^{[3]ルンドバーグの研究は1930年代に}ハラルド・クラメールによって再出版されました。^[4]

このモデルは、2つの相反するキャッシュフロー、すなわち収入保険料と支出保険金の流れを経験する保険会社を記述する。保険料は顧客から一定の割合で到着し、保険金は強度のポアソン過程に従って到着し、分布と平均を持つ独立かつ同一に分布する非負のランダム変数である（複合ポアソン過程を形成する）。したがって、初期余剰から始まる保険会社の場合、総資産は次のように与えられる：^[5]${\textstyle c>0}$ ${\displaystyle N_{t}}$${\textstyle \lambda }$${\displaystyle \xi_{i}}$${\textstyle F}$${\textstyle \mu }$${\textstyle x}$${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ t}}\geq 0.}$

このモデルの中心となる目的は、保険会社の剰余金が最終的にゼロを下回る（会社が破産する）確率を調べることである。この量は、最終的破産確率と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$、

ここで、破滅の時間はという慣例に従っている。これは、Pollaczek-Khinchineの公式^[6]を使用して正確に計算することができる（ここでの破滅関数は、 M/G/1待ち行列における待ち時間の定常分布の裾関数に等しい^[7]） ${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

ここで、はの裾分布の変換である。 ${\displaystyle F_{l}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu}}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

は- 倍畳み込みを表す。請求額が指数分布している場合、これは次のように簡略化される^[7]。${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

E. スパーレ・アンダーセンは1957年に古典的モデルを拡張し^[8]、クレーム到着間隔に任意の分布関数を持たせることを可能にした^{[9] 。}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ }}t\geq 0,}$

ここで、請求番号プロセスは更新プロセスであり、は独立かつ同一に分布するランダム変数です。さらに、モデルでは、ほぼ確実に、およびは 独立であると仮定しています。このモデルは、更新リスク モデルとも呼ばれます。 ${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \xi_{i}>0}$${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N}}}$

マイケル・R・パワーズ^[10]とガーバーとシウ^[11]は、保険者の剰余金の挙動を期待割引ペナルティ関数を通じて分析した。この関数は、破産文献では一般にガーバー・シウ関数と呼ばれ、保険数理学者のエリアス・SW・シウとハンス・ウルリッヒ・ガーバーにちなんで名付けられている。パワーズの貢献により、この関数をパワーズ・ガーバー・シウ関数と呼ぶべきであったかどうかは議論の余地がある。^[10]

べき乗記法 では、これは次のように定義される。

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$、

ここで、は金利の割引力、は破綻時の保険会社の経済的コストを反映する一般的なペナルティ関数、期待値は確率測度に対応する。この関数はパワーズによって期待割引倒産コストと呼ばれている。^[10]${\displaystyle \delta}$${\displaystyle K_{\tau}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

ガーバーとシウの表記では、次のように表される。

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$、

ここで、は金利の割引力であり、は破綻時の保険会社の経済的コストを捕捉するペナルティ関数（破綻前の黒字と破綻時の赤字に依存すると仮定）であり、期待値は確率測度 に対応します。ここで、指標関数は、破綻が発生した場合にのみペナルティが適用されることを強調しています。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$${\displaystyle X_{\tau -}}$${\displaystyle X_{\tau}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$

期待割引ペナルティ関数の解釈は非常に直感的です。関数は で発生するペナルティの保険数理上の現在価値を測定するため、ペナルティ関数に割引係数 を乗じ、次に までの待機時間の確率分布にわたって平均化します。Gerber と Shiu ^{[11] は}この関数を古典的な複合ポアソンモデルに適用しましたが、Powers ^[10]は、保険者の余剰は拡散プロセスの族によってモデル化する方がよいと主張しました。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$${\displaystyle \tau}$

期待割引ペナルティ関数のカテゴリに分類される破産関連の量は多種多様です。

期待割引ペナルティ関数のクラスに属するその他の金融関連量には、永久アメリカンプットオプション、^[12]最適行使時点での条件付き請求権などが含まれます。

• 一定金利の複合ポアソンリスクモデル
• 確率的利子を伴う複合ポアソンリスクモデル
• ブラウン運動リスクモデル
• 一般的な拡散過程モデル
• マルコフ変調リスクモデル
• 事故確率係数 (APF) 計算機 – リスク分析モデル (@SBH)

• 財務リスク
• ヴォルテラ積分方程式 § 応用: 破滅理論
• チャンス制約ポートフォリオ選択

• ガーバー、HU（1979）。『数学的リスク理論入門』フィラデルフィア：SSヒューブナー財団モノグラフシリーズ8。
• Asmussen S.、Albrecher H. (2010)。『破滅の確率』第 2 版。シンガポール: World Scientific Publishing Co.