ライスの公式

確率論において、ライスの公式は、エルゴード 定常過程 X ( t ) が単位時間あたりに固定レベルuを通過する平均回数を数える。^[1]アドラーとテイラーは、この結果を「滑らかな確率過程の応用における最も重要な結果の 1 つ」と表現している。^[2]この公式は、工学でよく使用される。^[3]

この式は1944年にスティーブン・O・ライスによって発表されたが^[4] 、それ以前には1936年の「歌う伝送線路」と題する論文でも議論されていた。^{[5] [6]}

エルゴード定常確率過程x ( t )が単位時間(すなわちt∈[0,1])内に値uをとる回数をDu_と書く 。ライスの公式は次のように表す。

${\displaystyle \mathbb {E} (D_{u})=\int _{-\infty }^{\infty }|x'|p(u,x')\,\mathrm {d} x'}$

ここでp ( x , x ')はx ( t )とその平均二乗導関数x' ( t )の結合確率密度である。^[7]

過程x ( t )がガウス過程でありu  = 0である場合、式は大幅に簡略化されて^{[7] [8]となる。}

${\displaystyle \mathbb {E} (D_{0})={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {-\rho ''(0)}}}$

ここでρ ''は0におけるx ( t )の正規化された自己相関の2次導関数である。

ライスの公式は、逸脱確率を近似するのに使用できる^[9]

${\displaystyle \mathbb {P} \left\{\sup _{t\in [0,1]}X(t)\geq u\right\}}$

uの値が大きい場合、レベル交差が発生する確率は、そのレベルに到達する確率とほぼ等しくなります。