レイリー・ローレンツ振り子

レイリー・ローレンツ振り子（またはローレンツ振り子）は、単純な振り子ですが、外部作用により周波数がゆっくりと変化します（周波数は振り子の長さを変化させることによって変化します）。これは、レイリー卿とヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられました。^{[ 1 ]}この問題は、力学における断熱不変量の概念の基礎となりました。周波数がゆっくりと変化するため、平均エネルギーと周波数の比は一定であることが示されています。

振り子の問題は、 1902 年にレイリー卿によって初めて定式化されましたが、数学的な側面については、1895 年にレオン・ルコルヌ、 1778 年にシャルル・ボシュットによって以前に議論されていました。 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}レイリーの研究を知らなかったヘンドリック・ローレンツは、 1911 年に最初のソルベー会議で、当時の量子論を明確にするために、「吊り下げ糸の長さを徐々に短くすると、単純な振り子はどのように振る舞うか？」という質問を提起しました。これに対してアルバート・アインシュタインは翌日、量子振り子のエネルギーと周波数の両方が、その比率が一定になるように変化するので、振り子は初期状態と同じ量子状態にあると答えました。これら 2 つの別々の研究は、さまざまな分野や古い量子論に応用されている断熱不変量の概念の基礎を形成しました。 1958年、スブラマニヤン・チャンドラセカールがこの問題に興味を持ち、研究を行ったことで、この問題への関心が再び高まり、その後、ジョン・エデンソー・リトルウッドなど多くの研究者によって研究されることになった。 ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

周波数を持つ単振動の式${\displaystyle \omega }$変位について${\displaystyle x(t)}$は $${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0.}$$

周波数が一定の場合、解は単純に次のように与えられる。${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}$しかし、周波数が時間とともにゆっくりと変化することを許容すれば${\displaystyle \omega =\omega (t)}$あるいは正確には、周波数変動の特性時間スケールが振動の周期よりもはるかに小さい場合、すなわち、 $${\displaystyle \left|{\frac {1}{\omega }}{\frac {d\omega }{dt}}\right|\ll \omega ,}$$ すると、次のことが示される。 $${\displaystyle {\frac {\bar {E}}{\omega }}={\text{定数}},}$$ どこ${\displaystyle {\bar {E}}}$これは振動全体にわたって平均化された平均エネルギーです。外部作用により周波数が時間とともに変化するため、エネルギー保存則はもはや成り立たず、単一の振動におけるエネルギーは一定ではありません。振動中、周波数は（たとえゆっくりであっても）変化するため、そのエネルギーも変化します。したがって、システムを記述するために、与えられたポテンシャルに対する単位質量あたりの平均エネルギーを定義します。${\displaystyle V(x;\omega )}$次のように $${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\displaystyle \oint dt\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+V(x(t);\omega (t))\right]}{\displaystyle \oint dt}}}$$ ここで、閉じた積分は、完全な振動にわたって積分が行われることを示しています。このように定義すると、平均化は、軌道の各要素を振り子がその要素に費やす時間の割合で重み付けすることによって行われることがわかります。単純な調和振動子の場合、それは次のように簡略化されます。 $${\displaystyle {\bar {E}}={\tfrac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}}$$ ここで、振幅と周波数の両方が時間の関数となる。