準可逆性

数学的確率理論の一分野である待ち行列理論において、準可逆性（QRとも呼ばれる）は一部の待ち行列の特性である。この概念はリチャード・R・マンツ^{[1]によって最初に特定され、}フランク・ケリー^[2]によってさらに発展させられた。^[3]準可逆性は、到着率にはより強い条件が課され、確率フラックスにはより弱い条件が適用される点で可逆性とは異なる。たとえば、状態依存の到着率と状態依存のサービス時間を持つM/M/1待ち行列は可逆的だが、準可逆的ではない。^[4]

キューのネットワークは、個々のキューを単独で考えると準可逆的であり、常に積形式定常分布を持ちます。^[5]準可逆性は、キューイングネットワークにおける積形式ソリューションの必要条件であると推測されていましたが、そうではないことが示されました。Chaoらは、準可逆性が満たされない積形式ネットワークを示しました。^[6]

定常分布を持つキューは、時刻t における 状態x (t)が${\displaystyle \pi}$

• 時刻t以降の各顧客クラスの到着時刻、
• 時刻t以前の各顧客クラスの出発時刻

あらゆる顧客層に対して。^[7]

準可逆性は、部分的なバランスの特定の形式と同等である。まず、逆レートq'( x , x' )を次のように 定義する。

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} )q'(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\pi (\mathbf {x'} )q(\mathbf {x'} ,\mathbf {x} )}$

特定のクラスの顧客だけを考えると、到着プロセスと出発プロセスは同じポアソン過程（パラメータ）なので、 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}q'(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$

ここで、M _xは、状態x'が状態xへの特定の顧客クラスの単一の到着を表すことを意味する集合です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {x'} \in M_{\mathbf {x} }}}$

• バークの定理は、 M/M/m待ち行列システムが準可逆であることを示している。^{[8] [9] [10]}
• ケリーは、 BCMPネットワークの各ステーションは単独で見ると準可逆的であることを示した。^[11]
• Gネットワ​​ークのGキューは準可逆的である。^[12]

• 時間の可逆性