製品形態ソリューション

確率論において、積形式解は、異なるサブコンポーネントを持つシステムの何らかのメトリックを決定するための特に効率的な解法であり、コンポーネントの集合のメトリックは、異なるコンポーネント間のメトリックの積として表すことができます。大文字のパイ表記を用いると、積形式解は代数形式になります。

${\displaystyle {\text{P}}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})=B\prod _{i=1}^{n}{\text{P}}(x_{i})}$

ここで、Bは定数である。このような形式の解は、 nが大きい場合に計算コストが低くて評価できるため、興味深い。キューイングネットワークにおけるこのような解は、マルチプログラミングおよびタイムシェアリングコンピュータシステムのモデルにおけるパフォーマンス指標を見つける上で重要である。

最初の積形式解は、マルコフ連鎖の平衡分布に対して発見されました。自明なことに、2 つ以上の独立したサブコンポーネントで構成されるモデルは、独立性の定義により積形式解を示します。当初、この用語は、サブコンポーネントが個々のキューとなるキューイング ネットワークで使用されました。たとえば、ジャクソンの定理は、オープン キューイング ネットワークの結合平衡分布を、個々のキューの平衡分布の積として与えます。^{[ 1 ]}数多くの拡張、主にBCMP ネットワークの後、積形式解には局所的バランスが必要であると考えられました。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ゲレンベのG ネットワークモデルは、これが当てはまらないことを初めて示したモデルでした。点過程のようなスパイク動作をする生物学的ニューロンをモデル化する必要性から、彼は G ネットワークの前身となるランダム ニューラルネットワークを導入しました。^{[ 4 ]}他の顧客を破壊または排除できる「負の顧客」を導入することで、彼は製品形式ネットワークのファミリーを一般化しました。^{[ 5 ]}その後、これはいくつかのステップでさらに拡張され、最初はゲレンベの「トリガー」によって拡張されました。トリガーとは、他の顧客をあるキューから別のキューに移動させる力を持つ顧客のことです。^{[ 6 ]}製品形式につながるもう 1 つの新しい顧客形式は、ゲレンベの「バッチ削除」でした。^{[ 7 ]}これは、Erol Gelenbe と Jean-Michel Fourneau によってさらに拡張され、障害の修復をモデル化できる「リセット」と呼ばれる顧客タイプが追加されました。キューが空の状態（例えば障害を表す）に達すると、キューの長さはジャンプバックするか、修復を表す到着したリセット顧客によって定常状態の分布に「リセット」されます。G-Networks のこれらの顧客タイプはすべて、複数のクラスを含めて同じネットワーク内に存在でき、それらすべてが一緒になっても依然として積形式の解をもたらし、以前に検討された可逆ネットワークをはるかに超えています。^{[ 8 ]}

積形式解は、「平衡状態ではステーションは独立している」と表現されることがある。^{[ 9 ]}積形式解は、大量待ち行列のネットワークにも存在する。^{[ 10 ]}

JM HarrisonとRJ Williams は、「古典的な待ち行列ネットワーク理論で解析に成功したモデルは、事実上すべて、いわゆる積形式定常分布を持つモデルである」と指摘している^{[ 9 ]}最近では、マルコフ過程代数 (例えばPEPAのRCAT ^{[ 11 ] [ 12 ]} ) や確率ペトリネット^{[ 13 ] [ 14 ]}の積形式解が発表されている。Martin Feinbergの欠損ゼロ定理は、化学反応ネットワークが積形式定常分布を示すための十分条件を与えている^{[ 15 ] 。}

Gelenbeの研究は、積形式のGネットワ​​ークがスパイクランダムニューラルネットワークのモデル化に使用できること、さらにそのようなネットワークが有界かつ連続な実数値関数の近似に使用できることも示している。^{[ 16 ] [ 17 ]}

積形式という用語は、 M個のノードでジョブが費やす時間が各ノードで費やされた時間の積として与えられる循環待ち行列システムの滞在時間分布を指すためにも使用されてきました。^{[ 18 ]} 1957 年に Reich は、直列接続された 2 つのM/M/1 待ち行列の結果を示し、^{[ 19 ]}後にこれを直列接続されたn 個のM/M/1 待ち行列に拡張し^{[ 20 ]} 、 Jackson ネットワークの追い越しのないパスに適用できることが示されています。^{[ 21 ]} Walrand と Varaiya は、追い越し禁止 (顧客がネットワーク内の別の経路を通ることで他の顧客を追い越すことができない) が、結果が成り立つための必要条件である可能性があると示唆しています。^{[ 21 ]} Mitrani は、追い越しのあるいくつかの単純なネットワークの正確な解を提供し、これらのいずれも積形式の滞在時間分布を示さないことを示しています。^{[ 22 ]}

閉鎖ネットワークの場合、Chow は 2 つのサービスノードに対して成り立つ結果を示しました^{[ 23 ]。}これは後にキューのサイクル^{[ 24 ]}およびGordon–Newell ネットワークの追い越しのないパス^{[ 25 ] [ 26 ]}に一般化されました。

• 近似積形式解は、周辺分布が独立であると仮定して計算され、いくつかの条件下では定常分布の良い近似値を与えることができる。^{[ 27 ] [ 28 ]}
• 半積形式の解とは、分布が積として記述でき、項がグローバル状態空間に対して限定的な関数依存性を持ち、グローバル状態空間を近似できるような解のことである。^{[ 29 ]}
• 準積形式の解は、
  • 周辺密度の積ではない解、しかし周辺密度は積型の方法で分布を記述する^{[ 30 ]}または
  • 過渡的な確率分布の近似形式により、過渡的なモーメントを近似することができる。^{[ 31 ]}