臨界3状態ポッツモデル

3状態ポッツCFTはパラフェルミオンCFTとも呼ばれ、2次元の共形場理論である。中心電荷を持つ極小モデルである。ヴィラソロ指標における非対角分割関数を持つ最も単純な極小モデルであると同時に、対称性としてW代数を持つ最も単純な非自明なCFTであると考えられている。 ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ ${\displaystyle c=4/5}$

臨界 3 状態ポッツ模型の中心電荷は であり、中心電荷が 1 未満のユニタリ極小模型の離散ファミリーに属します。これらの共形場理論は完全に分類されており、大部分はよく理解されています。 ${\displaystyle c=4/5}$

臨界3状態ポッツモデルのモジュラー分割関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Z=|\chi _{1,1}+\chi _{4,1}|^{2}+|\chi _{2,1}+\chi _{3,1}|^{ 2}+2|\chi _{4,3}|^{2}+2|\chi _{3,3}|^{2}}$

ここで、 はVirasoro 指標を指し、整数 でラベル付けされた Virasoro プライマリ演算子から生成された Verma モジュール上のトレースを取得することによって見つかります。ラベル付けは、極小モデルのプライマリ演算子の標準的な規則です。 ${\displaystyle \chi _{r,s}(q)\equiv {\textrm {Tr}}_{(r,s)}(q^{L_{0}-c/24})}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle c<1}$

さらに、臨界 3 状態ポッツ模型は、ヴィラソロ代数だけでなく、ヴィラソロ代数といくつかのスピン 3 カレントを含む W 代数と呼ばれる拡大代数でも対称です。局所正則 W プライマリは で与えられます。局所反正則 W プライマリも同様に、同じスケーリング次元で で与えられます 。理論の各フィールドは、正則および反正則 W 代数プライマリ フィールドの組み合わせ、または W 代数生成子を作用させることによって生成されるそのようなフィールドの子孫です。ヴィラソロ代数のプライマリの一部 (プライマリなど) は、W 代数のプライマリではありません。 ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}}$${\displaystyle 1,{\bar {\epsilon }},{\bar {\sigma }}_{1},{\bar {\sigma }}_{2},{\bar {\psi }}_{1},{\bar {\psi }}_{2}}$${\displaystyle (3,1)}$

分割関数は、W代数の指標（トレースはヴィラソロ代数の既約表現ではなく、W代数の既約表現で取られる）で表現されるとき対角関数である。およびなので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \chi _{1}=\chi _{1,1}+\chi _{4,1}}$${\displaystyle \chi _{\epsilon }=\chi _{2,1}+\chi _{3,1}}$

${\displaystyle Z=|\chi _{1}|^{2}+|\chi _{\epsilon }|^{2}+|\chi _{\psi _{1}}|^{2}+ |\chi _{\psi _{2}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{1}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{2}}|^ {2}}$

演算子は、大域的対称性の作用の下で荷電されます。つまり、大域的大域的変換の下で、演算子はに対して位相とを取得します。これらのフィールドを含む演算子積展開を支配する融合規則は、この変換の作用を尊重します。 を交換する荷電共役対称性もあります。文献では の代わりにという表記が使用されることがあります。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \sigma _{a}\to e^{2\pi ia/3}\sigma _{a}}$${\displaystyle \psi _{a}\to e^{2\pi ia/3}\psi _{a}}$${\displaystyle a=1,2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \sigma _{1}\leftrightarrow \sigma _{2},\psi _{1}\leftrightarrow \psi _{2}}$${\displaystyle \sigma ,\sigma ^{\dagger },\psi ,\psi ^{\dagger }}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}}$

臨界 3 状態ポッツモデルは、中心電荷を持つ 2 つのモジュラー不変共形場理論のうちの 1 つです。もう 1 つのそのような理論は、ビラソロ特性に関して対角分割関数を持つ 4 重臨界イジングモデルです。4 重臨界イジングモデルにオービフォールド変換を 適用することで、臨界 3 状態ポッツモデルを得ることができます。${\displaystyle c=4/5}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

臨界 3 状態ポッツ共形場理論は、1 次元量子 3 状態ポッツ モデルの相転移における低エネルギー有効理論として実現できます。

量子3状態ポッツモデルのハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

ここで、 および は正のパラメータです。最初の項は、格子内の最も近い隣接サイトの自由度を結合します。および は、および同一サイト交換関係を満たすクロック行列です。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle X^{3}=Z^{3}=1}$${\displaystyle ZX=\omega XZ}$${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

このハミルトニアンは、各サイトで同じ置換が行われる限り、各サイトの3 つの固有状態の任意の置換に対して対称です。したがって、これはグローバル対称性を持つと言われています。この対称性のサブグループは、ユニタリ演算子によって生成されます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$

1 次元では、このモデルには、秩序相と無秩序相という 2 つのギャップ相があります。秩序相は で発生し、任意のサイト での 秩序パラメータの基底状態期待値がゼロでないことによって特徴付けられます。この相の基底状態は、グローバル対称性を明示的に破るため、3 倍縮退しています。無秩序相は で発生し、単一の基底状態によって特徴付けられます。これら 2 つの相の間には、で相転移があります。この特定の値 では、ハミルトニアンはギャップレスであり、基底状態エネルギーは です。ここで、 はチェーンの長さです。言い換えると、無限に長いチェーンの極限では、ハミルトニアンの最低エネルギー固有値は、互いに無限に接近した間隔で配置されます。ほとんどの 1 次元ギャップレス理論の場合と同様に、1+1 次元の共形場理論を使用して、3 状態ポッツモデルの低エネルギー物理を記述することができます。この特定の格子モデルでは、共形場理論は臨界 3 状態ポッツ モデルに他なりません。 ${\displaystyle 0<g<1}$${\displaystyle Z_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E_{0}=-({\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }})JL}$${\displaystyle L}$

繰り込み群の流れの下では、量子3状態ポッツ模型の格子演算子は共形場理論の場に流れます。一般に、どの演算子がどの場に流れるかを理解するのは難しく、自明ではありません。解析的および数値的な議論は、いくつかの格子演算子とCFT場の間に次のような対応があることを示唆しています。^[3]格子インデックスは時空内の対応する場の位置にマッピングされ、非普遍的な実数前因子は無視されます。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle z,{\bar {z}}}$

• ${\displaystyle Z_{j}\sim \Phi _{\sigma _{1},{\bar {\sigma }}_{1}}(z,{\bar {z}})}$、正則部分と反正則部分からなる次元体であり、${\displaystyle {\frac {2}{15}}}$${\displaystyle \sigma _{1}(z)}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{1}({\bar {z}})}$
• ${\displaystyle Z_{j}^{\dagger }\sim \Phi _{\sigma _{2},{\bar {\sigma }}_{2}}(z,{\bar {z}})}$
• ${\displaystyle Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}\sim \Phi _{\epsilon ,{\bar {\epsilon }}}(z,{\bar {z}})}$格子言語でわかるように、この演算子をハミルトニアンのすべてのサイトに追加すると、1 から離れて調整する効果があります。この演算子は熱演算子と呼ばれます。これは、量子格子モデルの古典的な統計力学の類似物では、調整が臨界温度から離れて温度を変えることと同等になるためです。${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle -Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}+{\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\sim T(z)+{\bar {T}}({\bar {z}})}$、次元2の応力エネルギーテンソル場。
• ${\displaystyle Z_{j}(2-3\omega ^{2}X_{j}-3\omega X_{j}^{2})-2Z_{j}^{\dagger }(Z_{j-1}^{\dagger }+Z_{j+1}^{\dagger })\sim \psi _{1}(z){\bar {\psi }}_{1}({\bar {z}})}$