量子攪拌、ラチェット、ポンピング

量子力学およびメゾスコピック物理学において、量子攪拌、ラチェット、およびポンピングとは、 印加バイアス電圧や化学ポテンシャル差がない状態で、交流電流（AC）または周期的な変形によって駆動されるシステムにおいて直流電流（DC）が生成される現象群を指します。これらの効果は古典的な確率過程や散逸過程にも対応するものがありますが、その量子的な現れは、量子干渉、幾何学的位相、およびシステムのパラメータ空間のトポロジーによって大きく影響を受けます。

量子ポンピングは、一般的に、デバイスが閉じ込めポテンシャルを周期的に変形させて、電子などの粒子を2つのリザーバー間で輸送する開放系構成を指します。交流駆動力から正味の直流電流を生成するには、時間反転対称性を破る必要があります。断熱ポンピングでは、少なくとも2つのパラメータを逆位相で変化させることでこれを実現します。量子攪拌は、ポンピングの閉鎖系アナログであり、周期的な駆動によって、閉じたループまたはリング内で非ゼロの直流成分を持つ循環電流が誘起されます。量子ラチェットは、これと密接に関連するシステムであり、一般的には、交流駆動される空間的に周期的なアレイまたは非対称ポテンシャルとして定義され、熱的または量子的ゆらぎを整流して方向性のある直流電流を生成します。

これらの現象の理論的解析では、多くの場合、駆動サイクルごとに輸送される電荷​​量の計算に焦点が当てられます。断熱極限では、この輸送電荷は、システムの波動関数が獲得する幾何学的位相（ベリー位相など）と密接に関連しており、パラメータ空間のトポロジーによって量子化することができます。量子ポンピングと量子攪拌の研究は、断熱量子モーター、単一電子ポンプ、スピントロニクスデバイスなど、ナノスケール電子デバイスの開発に不可欠であり、これらのデバイスでは、純粋に電気的な手段を用いてスピン偏極を誘起したり、量子レベルで仕事を行ったりすることができます。

量子物理学におけるポンピング効果とスティーリング効果は、純粋に古典的な確率的および散逸的過程に対応するものがある。^{[ 1 ]量子ポンピング[ 2 ] [ 3 ]}および量子スティーリング^{[ 4 ]}の研究は、誘導電流の解析における量子干渉の役割を強調している。主な目的は、その量を計算することである。${\displaystyle Q}$走行サイクルあたりの輸送粒子数。${\displaystyle Q}$パラメータ空間のトポロジーにより、これは整数値となる。^{[ 5 ]}より一般的には${\displaystyle Q}$粒子間相互作用、無秩序、カオス、ノイズ、散逸の影響を受ける。

電気攪拌は時間反転対称性を明示的に破ります。この特性は、純粋に電気的な手段によって従来の半導体にスピン偏極を誘起するために使用できます。^{[ 6 ]}厳密に言えば、攪拌は非線形効果です。なぜなら、線形応答理論（LRT）では、交流駆動が同じ周波数の交流電流を誘起するからです。それでも、LRT久保形式の適応により、攪拌の解析が可能になります。量子ポンピング問題（開いた形状の場合）は、量子攪拌問題（閉じた形状の場合）の特別な極限と見なすことができます。後者は、散乱理論の枠組み内で解析することもできます。ポンピングおよび攪拌デバイスは、ラチェットシステムと密接な関係があります。^{[ 7 ]}後者は、この文脈では、直流電流が誘起される交流駆動の空間的に周期的なアレイとして定義されます。

バイアスを印加するか、粒子が帯電している場合は起電力を印加することで直流電流を誘起することが可能です。これとは対照的に、量子ポンピング機構は、閉じ込めポテンシャルの周期的な変形に応じて直流電流を生成します。交流駆動から直流電流を得るには、時間反転対称性（TRS）を破る必要があります。磁場と散逸がない場合、駆動自体がTRSを破る可能性があります。したがって、断熱ポンプの動作は複数のパラメータを変化させることに基づいていますが、非断熱ポンプ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}では、単一のパラメータの変調で直流電流の生成に十分である可能性があります。最もよく知られている例は、周期的な圧縮動作と入口/出口バルブのオン/オフ切り替えを組み合わせた蠕動機構です。

断熱量子ポンピングは、断熱量子モーターと呼ばれる電流駆動型ナノモーターの一種と密接に関連しています。量子ポンプでは、いくつかの古典的パラメータの周期的な動きによって量子粒子が一方のリザーバーから他方のリザーバーへポンピングされますが、量子モーターでは、量子粒子の直流電流が古典的デバイスの周期的な動きを誘発します。この関係は、電流と量子粒子の間のオンサーガーの相反関係によるものです。${\displaystyle I}$電流によって誘発される力${\displaystyle F}$一方では一般化されたフラックスとして、他方では化学ポテンシャルのバイアスとして捉える。${\displaystyle \delta \mu }$制御パラメータの速度${\displaystyle {\dot {X}}}$一方、一般化された力として捉えると、^{[ 4 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial F_{j}}{\partial \left(\delta \mu _{\alpha }\right)}}\right|_{eq}=\left.{\frac {\partial I_{\alpha }}{\partial {\dot {X}}_{j}}}\right|_{eq}}$$。

どこ${\displaystyle j}$そして${\displaystyle \alpha }$はそれぞれ機械的自由度とリードのインデックスであり、サブインデックスは「${\displaystyle eq}$「」は、量が平衡状態で評価されるべきであることを意味する。$\displaystyle {\dot {X}}=0}$そして${\displaystyle \delta \mu =0}$2本のリード線を持つシステムについて上記の式を積分すると、サイクルあたりのポンプ電荷と、よく知られた関係が得られます。${\displaystyle Q}$モーターが行う仕事${\displaystyle W}$電圧バイアス${\displaystyle V}$[ ^{11 ]​}

${\displaystyle W=QV}$。

ハミルトニアンで記述される閉鎖系を考える$\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$それはいくつかの制御パラメータに依存します${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},X_{3})}$。 もし${\displaystyle X_{3}}$アハロノフ・ボームの法則によれば、リングを通過する磁束は、ファラデーの法則により、${\displaystyle -{\dot {X_{3}}}}$は起電力です。線形応答理論が適用される場合、比例関係が得られます。${\displaystyle I=-G^{33}{\dot {X}}_{3}}$、 どこ${\displaystyle G^{33}}$これはオーム伝導率と呼ばれます。完全な類推で、${\displaystyle X_{1}}$電流は${\displaystyle I=-G^{31}{\dot {X}}_{1}}$、そしてもし私たちが変えるなら${\displaystyle X_{2}}$電流は${\displaystyle I=-G^{32}{\dot {X}}_{2}}$、 どこ${\displaystyle G^{31}}$そして${\displaystyle G^{32}}$これらはコンダクタンス行列の要素である。したがって、完全なポンピングサイクルでは次のようになる。

${\displaystyle Q=\oint \limits _{\text{cycle}}I\,dt=-\oint (G^{31}\,dX_{1}+G^{32}\,dX_{2})}$

コンダクタンスは、断熱過程の理論^{[ 5 ]}に基づく量子ポンピングの久保公式アプローチ^{[ 12 ]}を用いて計算および解析することができる。ここでは、低周波の「準静的」駆動過程の場合に適用される式を記述する（「DC駆動」および「断熱駆動」という一般的な用語は誤解を招くことが判明したため、ここでは使用しない）。

${\displaystyle G^{3j}={\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{\infty }\left\langle \left[{\mathcal {I}}(t),{\mathcal {F}}^{j}(0)\right]\right\rangle \,t\,dt}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$現在の演算子であり、$\displaystyle {\mathcal {F}}^{j}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial X_{j}}$は、制御パラメータに関連付けられた一般化された力です。${\displaystyle X_{j}}$この式は量子力学的な表記法を用いて書かれているが、交換子をポアソン括弧に置き換えれば古典的にも成り立つ。一般に${\displaystyle G}$は 2 つの項の和として表すことができ、1 つは散逸に関係し、もう 1 つは次のように表される。${\displaystyle B}$幾何学に関係している。散逸部分は厳密な量子断熱極限で消滅するが、幾何学的部分は${\displaystyle B}$ゼロではない可能性がある。厳密な断熱極限では、${\displaystyle B}$これは「ベリー曲率」（数学的には「2形式」として知られる）です。${\displaystyle B_{1}=-G^{32}}$そして${\displaystyle B_{2}=G^{31}}$ポンプで送り込まれる粒子の量を表す式は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle Q=\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {ds}}}$

ここで法線ベクトルを定義する${\displaystyle {\vec {ds}}=(dX_{2},-dX_{1})}$図に示すように。この視点の利点は、結果に対する直感的な理解が得られる点にある。${\displaystyle Q}$場のフラックスに関連している${\displaystyle {\vec {B}}}$これは、（いわば）「磁気電荷」によって生成される。${\displaystyle X}$空間。実際には、${\displaystyle {\vec {B}}}$以下の式を使用して行われます。

${\displaystyle {B}_{j}=\sum _{n(\neq n_{0})}{\frac {2\hbar \ {\rm {Im}}[{\mathcal {I}}_{n_{0}n}\ {\mathcal {F}}_{nn_{0}}^{j}]}{(E_{n}-E_{n_{0}})^{2}}}}$

この式は久保公式の量子断熱極限とみなすことができる。系の固有状態は添え字でラベル付けされる。${\displaystyle n}$これらは一般に多体状態であり、エネルギーは一般に多体エネルギーである。有限温度では、熱平均は${\displaystyle n_{0}}$暗黙的である。フィールド${\displaystyle B}$「ベクトルポテンシャル」の回転子とみなすことができる${\displaystyle A}$（数学的には「1形式」として知られている）。すなわち、${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \wedge {\vec {A}}}$閉じたサイクルの終わりに波動関数が獲得する「ベリー位相」は

${\displaystyle {\text{Berry phase}}={\frac {1}{\hbar }}\oint {\vec {A}}\cdot d{\vec {X}}}$

したがって、(いわば) を生成する「磁気電荷」は、${\displaystyle B}$この場は量子化された「ディラックモノポール」から構成される。ゲージ不変性から、系の縮退は垂直ディラック鎖として配置されることがわかる。「ディラックモノポール」は、${\displaystyle X}$地点${\displaystyle n_{0}}$別のレベルとの縮退があります。ディラックモノポールの図^{[ 13 ]}は電荷輸送解析に役立ちます。輸送される電荷​​の量は、ポンピングサイクルによって囲まれたディラック鎖の数によって決まります。オプションとして、ベリー位相をデバイスを通過するアハロノフ-ボーム束に関して微分することにより、ポンピングサイクルあたりの輸送電荷を評価することができます。^{[ 14 ]}

リザーバーにリード線で接続されたメゾスコピックデバイスのオーム伝導率は、ランダウアーの公式で与えられます。無次元単位では、開チャネルのオーム伝導率はその透過率に等しくなります。量子ポンピングの文脈でこの散乱観点を拡張すると、幾何^学的伝導率と${\displaystyle S}$ポンプのマトリックス。低温極限では、

${\displaystyle G^{3j}={\frac {1}{2\pi i}}\mathrm {trace} \left(P_{A}{\frac {\partial S}{\partial X_{j}}}S^{\dagger }\right)}$

ここ${\displaystyle P_{A}}$これは、電流が測定されるリードのオープンチャネルにトレース操作を制限するプロジェクターです。この BPT 式は、もともとは散乱アプローチを使用して導出されましたが、^{[ 15 ]}後に久保の公式との関係が解明されました。^{[ 16 ]}

ごく最近の研究では、ボーズ凝縮粒子の攪拌における相互作用の役割が検討されている。^{[ 17 ]}それ以外の文献は主に電子デバイスに関するものである。^{[ 18 ]}通常、ポンプは量子ドットとしてモデル化される。ドット領域内の電子間相互作用の影響は、クーロンブロッケード領域または近藤領域で考慮される。前者の場合、電荷輸送は後方散乱が小さい場合でも量子化される。正確な量子化値からのずれは散逸に関連している。近藤領域では、温度が低下すると、ポンピング効果が変更される。ルッティンガー液体モデルを使用して、システム全体（リードを含む）にわたる相互作用を検討する研究もある。

量子ポンプは、古典的な力学的自由度と結合すると、それに結合した力学的自由度の周期的変動を引き起こすこともあります。このような構成では、ポンプは断熱量子モーターと同様に機能します。 この種のシステムの典型的な例は、弾性変形可能な量子ドットに結合した量子ポンプです。^{[ 19 ]}上記のパラダイムは、非線形効果と確率的ゆらぎを含むように一般化されています。^{[ 20 ] [ 21 ]}

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