ポシュル・テラー電位

数理物理学において、ポシュル・テラーポテンシャルは、1次元シュレーディンガー方程式を特殊関数で解くことができる特殊なクラスのポテンシャルである。これは、1933年にこれを開発した物理学者ゲルトルート・ポシュル^{[ a ]}とエドワード・テラーにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}

対称形式では、^{[ 2 ]で明示的に与えられます。}

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

そして時間独立シュレディンガー方程式の解

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

この可能性は置換によって見出される${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$それによって

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$。

したがって、解決策は${\displaystyle \psi (u)}$これらはルジャンドル関数です${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}$と${\displaystyle E=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}$、 そして${\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots }$、${\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }$さらに、固有値と散乱データは明示的に計算できます。^{[ 3 ]}整数の特殊な場合${\displaystyle \lambda }$ポテンシャルは無反射であり、そのようなポテンシャルはKorteweg–De Vries方程式のNソリトン解としても現れる。^{[ 4 ]}

ポテンシャルのより一般的な形式は^{[ 2 ]で与えられる。}

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}$

ネイサン・ローゼンとフィリップ・M・モースは、関連ポテンシャルは追加項を導入することによって与えられることを提唱した。^{[ 5 ]}

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x.}$

• モールス電位
• 三角関数ローゼン・モースポテンシャル

• ペシュルテラーポテンシャルの固有状態