本当に重要な証明

『Proofs That Really Count: the Art of Combinatorial Proof』は、数学的恒等式の組合せ的証明に関する学部レベルの数学書です。つまり、2 つの整数値式間の等式について扱っており、等式の両辺が同じタイプの数学的対象を数えることを示すか、数える異なるタイプの対象の間に1 対 1 の対応を見つけることによって、等しいことが示されます。これは、 Arthur T. BenjaminとJennifer Quinnによって書かれ、2003 年にアメリカ数学協会によって Dolciani Mathematical Expositions シリーズの第 27 巻として出版されました。これはアメリカ数学協会の Beckenbach Book Prize を受賞しました

この本は、組合せ論における13の定理と246の番号付き恒等式（付録にまとめられている）の組み合わせ論的証明を提供している。 ^[1]いくつかの追加の「数えられない恒等式」も含まれている。^[2]多くの証明は、著者が「タイリング」と呼ぶ視覚的推論法に基づいている。^{[1] [3]また、序文で著者は、自分たちの研究がロジャー・B・ネルソンの}Proof Without Wordsの本の計数問題のフォローアップを提供するものであると述べている。^[3]

本書の最初の 3 章は、線形回帰関係によって定義される整数列から始まる。その典型的な例は、フィボナッチ数列である。これらの数は、正方形のストリップを 2 種類のタイル (単一の正方形とドミノ) でタイル張りする方法の数として組み合わせ論的に解釈することができる。この解釈は、フィボナッチ数に関係する多くの基本的な恒等式の証明に使用でき、同様に定義される他の列、たとえば [4] ルーカス数 [5] に関する同様の関係に一般化できる。[ ⁶ ]^たとえば、^{フィボナッチ}数の場合、タイル張りが長さのストリップの位置とを接続するかどうかを考慮すると、直ちに恒等式が導かれる。 ${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle a-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b-1}$

${\displaystyle F_{a+b}=F_{a-1}F_{b}+F_{a}F_{b+1}.}$

この本の第4章から第7章は、連分数、二項係数、調和数、スターリング数、階乗を含む恒等式を扱っています。第8章は組合せ論から数論と抽象代数へと広がり、最後の章ではフィボナッチ数に戻り、より高度な恒等式について扱います。^[4]

この本は学部の数学の学生を対象としているが、内容は大部分が自己完結的であり、高校の上級生も読むことができる。^{[4] [6]}さらに、本の多くの章はそれ自体が自己完結的であるため、任意の順序で読むことも、この資料の抜粋を授業で使用することもできる。^[2]この本は各章に演習を含む教科書として構成されているが、 ^[4]評論家のロバート・ビーザーは、この本は「教科書として意図されているのではなく」、教師や研究者のための「リソース」として意図されていると書いている。^[2]これに同意して、評論家のジョー・ロバーツは、その初歩的な性質にもかかわらず、この本は「そのようなアイデンティティを扱う人にとって参考資料として価値がある」はずだと書いている。^[1]

最初のレビューで、ダレン・グラスは、結果の多くが無味乾燥な数式として提示されており、それがなぜ興味深いのか、あるいは役に立つのかという文脈や説明がまったくなく、この文脈の欠如が、この本を授業のメインテキストとして使用する際の障害になるだろうと不満を述べた。^[4]しかし、この本を所有してから 1 年後の 2 回目のレビューでは、「次から次へと人に貸している」と書いている。^[7] レビュー担当者のピーター・G・アンダーソンは、この本の「古くて馴染みのある数学と新しい数学の美しい見方」を称賛し、「宝物」と呼んでいる。^[5]レビュー担当者のジェラルド・L・アレクサンダーソンは、この本の証明を「独創的で具体的で記憶に残る」と評している。^{[3]この本が 2006 年に}ベッケンバッハ図書賞を受賞した際の受賞理由には、「数学全体にわたるカウント技法の普及と威力を魔法のように示している。数学の専門家を魅了し、初心者を魅了する数少ない本の一つである」と書かれている。^[8]

この本に載っている未解決問題の一つ、二項係数とフィボナッチ数列を組み合わせた恒等式の全単射証明を求める問題は、後にドロン・ツァイルバーガーによって肯定的に解答された。ツァイルバーガーは、自身の論文のプレプリントへのリンクがあるウェブサイトで、次のように書いている。

「私が若くてハンサムだった頃は、一対一的に証明しようとせずにアイデンティティを見ることはできませんでした。どういうわけか、私はこの中毒から自分自身を解放しました。しかし、アーサー・ベンジャミンとジェニファー・クインの傑作『本当に重要な証明』を読んだとき、その衝動が再燃しました。」^[9]

Proofs That Really Countは、 2006年にアメリカ数学会のベッケンバッハ図書賞を受賞し、 ^[8]、2010年にはアメリカ図書館協会の優秀学術書に贈られるCHOICE賞を受賞しました。^[10]アメリカ数学会の基本図書館リスト委員会によって、この本はあらゆる学部生の数学図書館に必須の書物としてリストされています。^[4]

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