プライム定数

素数定数は、 が素数の場合は2進数の桁が 1 になり、 が合成数または 1 の場合は 0 になる実数 です。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

言い換えれば、は、その2進展開が素数集合の指示関数に対応する数である。つまり、 ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

ここで、は素数を示し、は素数の 集合の特性関数です。${\displaystyle p}$${\displaystyle \chi_{\mathbb{P}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

ρの10進展開の始まりは次のようになる。（OEISのシーケンスA051006） ${\displaystyle \rho =0.414682509851111660248109622\ldots }$

バイナリ拡張の始まりは次のようになります: ( OEISのシーケンスA010051 ) ${\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}$

この数は無理数であることが証明できる。^[1] 理由を理解するために、この数が有理数であると仮定しよう。 ${\displaystyle \rho}$

の2進展開の 番目の桁をで表します。 は有理数と仮定されるため、その2進展開は最終的に周期的となり、すべてのおよびすべてのに対してとなる 正の整数およびが存在します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

素数は無限にあるので、素数 を選ぶことができます。定義により となります。前述のように、すべての に対してとなります。次に の場合を考えます。 は であるため合成数なのでとなります。は無理数であることがわかります。 ${\displaystyle p>N}$${\displaystyle r_{p}=1}$${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i=p}$${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$${\displaystyle p(k+1)}$${\displaystyle k+1\geq 2}$${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$${\displaystyle \rho}$

• Weisstein、Eric W.「素数定数」。MathWorld。