ポンペイの定理

ポンペイの定理は、ルーマニアの数学者ディミトリ・ポンペイによって発見された平面幾何学の結果です。この定理は単純ですが、古典的ではありません。それは次のことを述べています。

平面上の正三角形ABCと三角形ABCの​​平面上の点Pを考えると、長さPA、PB、PCは（おそらく退化した）三角形の辺を形成します。^{[1] [2]}

証明は簡単です。点B の周りの 60° の回転を考えます。A が C に写像され、P が P ' に写像されると仮定します。すると、、となります 。したがって三角形PBP ' は正三角形であり、となります。すると、となります。したがって、三角形PCP ' の辺はPA、PB、PC と等しく、構築による証明は完了です (図を参照)。^[1]${\displaystyle \scriptstyle PB\ =\ P'B}$${\displaystyle \scriptstyle \angle PBP'\ =\ 60^{\circ}}$${\displaystyle \scriptstyle PP'\ =\ PB}$${\displaystyle \scriptstyle PA\ =\ P'C}$

さらに調査を進めると、Pが三角形の内部ではなく外接円上にある場合、PA、PB、PCは退化した三角形を形成し、その最大値は他の三角形の合計に等しくなることが明らかになりました。この観察は、ヴァン・スクーテンの定理としても知られています。^[1]

一般的に、点Pと正三角形の頂点PA、PB、PCまでの長さによって、辺が と である 2 つの正三角形 (大きい方と小さい方)が定義されます。 ${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,2}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)\end{aligned}}}$。

△は、各辺の長さがPA、PB、PC である三角形の面積を表す。^[3]

ポンペイウはこの定理を1936年に発表したが、アウグスト・フェルディナント・メビウスは1852年にユークリッド平面上の4点に関するより一般的な定理をすでに発表していた。この論文でメビウスは、より一般的な定理の特別なケースとしてポンペイウの定理の記述を明示的に導出した。このため、この定理はメビウス-ポンペイウの定理としても知られている。^[4]

• MathWorld のポンペイウの定理に関するページ
• ポンペイウの定理 (cut-the-knot.org)