多項式ディオファントス方程式

数学において、多項式ディオファントス方程式は、不定 多項式 方程式であり、その解は不定量の多項式に制限されます。一般に、ディオファントス方程式は、解が何らかの代数システム、通常は整数に制限される方程式です。(別の用法では) ディオファントスは、整数ディオファントス方程式の最初の研究を行った、3世紀のヘレニズム時代の数学者、アレクサンドリアのディオファントスを指します。

多項式ディオファントス方程式の重要なタイプは次の形式をとります。

${\displaystyle sa+tb=c}$

ここで、a、b、c は既知の多項式であり、sと tについて解きたいとします。

簡単な例（および解決策）は次のとおりです。

${\displaystyle s(x^{2}+1)+t(x^{3}+1)=2x}$

${\displaystyle s=-x^{3}-x^{2}+x}$

${\displaystyle t=x^{2}+x.}$

多項式ディオファントス方程式が解を持つための必要十分条件は、c がaと bのGCDの倍数になることです。上記の例では、aとbの GCD は1 なので、 c の任意の値に対して解が存在します。

多項式ディオファントス方程式の解は一意ではありません。 の任意の倍数(たとえば) を使用して、と を別の解 に変換できます。 ${\displaystyle ab}$${\displaystyle rab}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s'=s+rb}$ ${\displaystyle t'=t-ra}$

${\displaystyle (s+rb)a+(t-ra)b=c.}$

いくつかの多項式ディオファントス方程式は、整数の場合と同様に多項式でも機能する 拡張ユークリッドの互除法を使用して解くことができます。

• ブロンスタイン、マヌエル（2005）。シンボリック積分I。シュプリンガー。pp.12-14。ISBN 3-540-21493-3。