トロイダル座標とポロイダル座標

トロイダルとポロイダルという用語は、基準となるトーラスに対する方向を指します。これらは、ポロイダル方向が表面の周りの小さな円環に沿って進み、トロイダル方向がトーラスの周りの大きな円環に沿って進み、中央の空洞を囲む 3 次元座標系を表します 。

オックスフォード英語辞典に引用されているこれらの用語の最も古い使用例は、ウォルター・M・エルサッサー（1946年）によるもので、地球の磁場が核内の電流によって生成されるという文脈で使用されており、「トロイダル」は一定の緯度線に平行であり、「ポロイダル」は磁場の方向（つまり極に向かう方向）を意味します。

OEDには、磁気閉じ込め核融合で見られるようなトロイダル閉じ込めプラズマの文脈で、これらの用語が後に使用されたことも記録されています。プラズマの文脈では、トロイダル方向はトーラスの長い方向で、対応する座標はスラブ近似ではz 、磁気座標ではζまたはφで示されます。ポロイダル方向はトーラスの短い方向で、対応する座標はスラブ近似ではy 、磁気座標ではθで示されます。(磁気面に対して垂直な 3 番目の方向は、しばしば「放射方向」と呼ばれ、スラブ近似ではxで示され、磁気座標ではψ、χ、r、ρ、またはsで示されます。)

磁気閉じ込めプラズマの物理学からの簡単な例として、半径 の円形で同心円状の磁束面を持つ軸対称システム（初期のトカマクの磁場形状の大まかな近似ですが、位相的には入れ子になった磁束面を持つ任意のトロイダル磁気閉じ込めシステムと同等）を考え、トロイダル角を、ポロイダル角を で表します。この場合、トロイダル/ポロイダル座標系は、次の変換規則によって 標準の直交座標と関連付けられます。${\displaystyle r}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta)\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

どこ。 ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

幾何学的に自然な選択はを取ることです。このとき、上図の矢印で示されるトロイダル方向とポロイダル方向が得られますが、これでは左手曲線座標系になります。磁気的に閉じ込められたプラズマを記述するためのフラックス座標を設定する際に、通常、セットは右手座標系 を形成すると想定されるため、 を取ってポロイダル方向を反転するか、 を取ってトロイダル方向を反転する必要があります。文献では両方の選択肢が使用されています。 ${\displaystyle s_{\theta}=s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$${\displaystyle s_{\theta}=-1,s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle s_{\theta}=+1,s_{\zeta}=-1}$

トロイダル閉じ込めプラズマ装置における単一粒子の運動を研究するには、速度ベクトルと加速度ベクトルを知る必要があります。自然な選択を考慮すると、トロイダル座標系とポロイダル座標系の単位ベクトルは次のように表すことができます。 ${\displaystyle s_{\theta}=s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\ cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

直交座標に従って、位置ベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{ \シータ }}$

速度ベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+ {\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

加速度ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\ dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\シータ}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta } }\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{整列}}}$

無料辞書のウィクショナリーで「toroidal 」 または「poloidal」を調べてください。

• トーラス座標
• トーラス
• 帯状および半球状
• ポロイダル-トロイダル分解
• ゾーンフロー（プラズマ）

• 「オックスフォード英語オンライン辞典」。poloidal。 オックスフォード大学出版局。 2007 年 8 月 10 日閲覧。
• Elsasser, WM (1946). 「地球磁気における誘導効果、第1部 理論」. Phys. Rev. 69 ( 3–4): 106–116. doi :10.1103/PhysRev.69.106 . 2007-08-10閲覧。