ピオラの変革

ピオラ変換は、連続体力学におけるオイラー座標とラグランジアン座標の間でベクトルをマッピングします。この変換はガブリオ・ピオラにちなんで名付けられました。

をアフィン変換 で表す。をリプシッツ境界を持つ領域 で 表す。写像${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle F({\hat {x}})=B{\hat {x}}+b,~B\in \mathbb {R} ^{d,d},~b\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle K=F({\hat {K}})}$${\displaystyle {\hat {K}}}$

$${\displaystyle p:L^{2}({\hat {K}})^{d}\rightarrow L^{2}(K)^{d},\quad {\hat {q}}\mapsto p({\hat {q}})(x):={\frac {1}{|\det(B)|}}\cdot B{\hat {q}}({\hat {x}})}$$ はピオラ変換と呼ばれる。通常の定義では行列式の絶対値を取るが、一部の著者は行列式のみとする。^[1]

注:テンソルと弾性の文脈におけるより一般的な定義、およびピオラ変換が境界を越えたテンソル場のフラックスを保存するという性質の証明については、Ciarletの本を参照してください。^[2]

• ピオラ・キルヒホッフ応力テンソル
• ラビアート・トーマス基底関数
• ラヴィアート・トーマス・エレメント