ペニーのゲーム

発明者のウォルター・ペニーにちなんで名付けられたペニーのゲームは、2 人のプレイヤー間でバイナリ(表/裏)のシーケンスを生成するゲームです。プレイヤー A は、表と裏のシーケンス (長さ 3 以上) を選択し、このシーケンスをプレイヤー B に示します。次に、プレイヤー B は同じ長さの別の表と裏のシーケンスを選択します。その後、公平なコインが投げられ、プレイヤー A またはプレイヤー B のシーケンスがコイン投げの結果の連続したサブシーケンスとして表示されます。シーケンスが最初に表示されたプレイヤーが勝ちます。

少なくとも長さ 3 のシーケンスが使用される場合、2 番目のプレーヤー (B) は開始プレーヤー (A) よりも有利になります。これは、ゲームが非推移的であるため、長さ 3 以上の任意のシーケンスに対して、最初に発生する確率が高い別のシーケンスを見つけることができるためです。

3ビットシーケンス ゲームの場合、2 番目のプレーヤーは、次のシーケンスを選択してオッズを最適化できます。

順序を覚える簡単な方法は、2 番目のプレーヤーが最初のプレーヤーの真ん中の選択の反対から始めて、その後に最初のプレーヤーの最初の 2 つの選択を続けることです。

最初のプレイヤーが1-2-3を選択する場合

2番目のプレイヤーは(not-2)-1-2を選択しなければならない

ここで、(not-2) は最初のプレイヤーの 2 番目の選択の反対です。

この結果に対する直感的な説明は、シーケンスが最初のプレーヤーの直接の選択ではない場合、最初のプレーヤーがシーケンスの開始、つまり最初の 2 つの選択肢を取得する可能性は、通常、2 番目のプレーヤーが完全なシーケンスを取得する可能性と同じであるということです。したがって、2 番目のプレーヤーは最初のプレーヤーより「先に終了する」可能性が最も高くなります。

最初のプレーヤーの最適戦略（シーケンスの長さが 4 以上の場合）は、JA Csirik によって発見されました（参考文献を参照）。HTTTT.....TTTHH ( T の) を選択することです。この場合、2 番目のプレーヤーの勝利の最大オッズは です。 ${\displaystyle k-3}$${\displaystyle (2^{k-1}+1):(2^{k-2}+1)}$

ペニーのゲームのバリエーションとして提案されているものの一つは、普通のトランプのカード一組を使うものである。ハンブル・ニシヤマ・ランダムネス・ゲームは、表と裏の代わりに赤と黒のカードを使い、同じ形式を踏襲している。^{[2] [3]}このゲームは次のようにプレイされる。ゲーム開始時に、各プレイヤーはゲーム全体で使用する3色の順番を決める。次に、カードを1枚ずつめくって一列に並べ、選ばれた3つ組のうちの1つが出るまで続ける。勝者は、その「トリック」を獲得し、めくられたカードを取る。ゲームは未使用の残りのカードで続けられ、プレイヤーは3つ組が出るたびにトリックを集め、パックのカードがすべて使用されるまで続ける。最も多くのトリックを獲得したプレイヤーがゲームの勝者となる。平均的なゲームは、約7つの「トリック」で構成される。このカードベースのバージョンは、オリジナルのコインゲームを何度も繰り返したものに非常に似ているため、2番目のプレイヤーの優位性は大幅に増幅される。コインを投げるたびに得られるオッズは独立していますが、赤または黒のカードが出る確率は前回の引きによって決まるため、確率は若干異なります。HHT は HTH および HTT に対して 2:1 の優位性がありますが、BBR は BRB および BRR に対してオッズが異なることに注意してください。

以下は、コンピュータシミュレーションに基づく各戦略の結果のおおよその確率です。^[4]

最初のトリックの後にゲームが終了した場合、引き分けになる可能性はごくわずかです。そのようなゲームで 2 番目のプレーヤーが勝つ確率は、以下の表に示されています。

最近、ロバート・W・ヴァリン、そして後にヴァリンとアーロン・M・モンゴメリーは、ペニーのゲームを（アメリカン）ルーレットに適用し、プレイヤーが表/裏ではなく赤/黒を選択するという結果を発表しました。この状況では、ボールが赤または黒に落ちる確率は 9/19 で、残りの 1/19 は、数字 0 と 00 でボールが緑に落ちる確率です。緑を解釈する方法はいくつかあります。(1)「ワイルドカード」として、BGR を黒、黒、赤、黒、赤、赤と読み取る、(2)やり直しとして、緑が現れるとゲームが停止し、次のスピンで再開する、(3) 追加の解釈なしで緑そのものとして。結果は、オッズと待ち時間について算出されました。^[5]

• 非推移的ゲーム

• ウォルター・ペニー、「レクリエーション数学ジャーナル」、1969年10月、241ページ。
• マーティン・ガードナー、「タイムトラベルとその他の数学的困惑」、WH フリーマン、1988 年。
• LJ GuibasおよびAM Odlyzko、「文字列のオーバーラップ、パターン マッチング、および非推移的なゲーム」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、第 30 巻、第 2 号、(1981)、pp 183–208。
• Elwyn R. Berlekamp、John H. Conway、Richard K. Guy、「数学的プレイで勝つ方法」、第 2 版、第 4 巻、AK Peters (2004)、p. 885。
• S. Humble & Y. Nishiyama、「Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney's Coin Game」、IMA Mathematics Today。第46巻、第4号、2010年8月、pp 194-195。
• スティーブ・ハンブル &西山裕、「Winning Odds」、Plus Magazine、第 55 号、2010 年 6 月。
• 西山 裕、「ペニーのコインゲームの新しいバリエーションとしてのパターンマッチング確率とパラドックス」、国際純粋応用数学誌、第59巻、第3号、2010年、357-366ページ。
• Ed Pegg, Jr.、「コイン投げで勝つ方法」、Wolfram Blog、2010 年 11 月 30 日。
• JA Csirik、「ペニー アンティ ゲームの最初のプレーヤーの最適戦略」、Combinatorics, Probability and Computing、第 1 巻、第 4 号 (1992)、311 ～ 321 ページ。
• ロバート・W・ヴァリン「ルーレットホイール上のシーケンスゲーム」『非常に面白い主題の数学：レクリエーション数学の研究』第 2 巻、プリンストン大学出版局、（2017 年出版予定）
• James Brofos、「パターンマッチングコインゲームのマルコフ連鎖分析」arXiv:1406.2212 (2014)。

• ペニーのゲームのオンラインシミュレーション
• ペニーのゲームのいくつかのバリエーション