パターソン関数

パターソン関数は、 X線結晶構造解析における位相問題を解くために使用されます。1935年に、 MITのバートラム・ユージン・ウォーレン研究室の客員研究員だったアーサー・リンド・パターソンによって導入されました。^{[1] [2]}

パターソン関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.}$$

これは本質的には構造因子ではなく強度のフーリエ変換です。パターソン関数は、電子密度とその逆関数の畳み込みにも相当します。

${\displaystyle P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).}$

さらに、 N点のパターソン マップには、中央 (原点) のピークと重複部分を除いて、 N ( N − 1) 個のピークがあります。

パターソン関数におけるピークの位置は原子間距離ベクトルであり、ピークの高さは関係する原子内の電子数の積に比例します。

原子iとj の間の各ベクトルには、同じ長さの反対向きのベクトル（原子jとiの間）が存在するため、パターソン関数は常に中心対称性を持ちます。

次式で表される デルタ関数の級数を考える。

${\displaystyle f(x)=\デルタ (x)+3\デルタ (x-2)+\デルタ (x-5)+3\デルタ (x-8)+5\デルタ (x-10).\ 、}$

パターソン関数は、次のデルタ関数と単位ステップ関数の系列で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(u)={}&5\デルタ (u+10)+18\デルタ (u+8)+9\デルタ (u+6)+6\デルタ (u+5 )+6\デルタ (u+3)\\&+18\デルタ (u+2)+45\デルタ (u)+18\デルタ (u-2)+6\デルタ(u-3)+6\デルタ (u-5)\\&+9\デルタ (u-6)+18\デルタ (u-8)+5\デルタ (u-10).\end{aligned} }}$

• 「構造解析。パターソン関数とパターソン法」