p進モジュラー形式

数学において、p進モジュラー形式は、係数が複素数ではなくp 進数であるモジュラー形式のp進類似体です。Serre (1973) は、通常のモジュラー形式の極限としてp進モジュラー形式を導入し、その後まもなく Katz (1973) は幾何学的かつより一般的な定義を与えました。Katz のp進モジュラー形式には、特殊なケースとして、通常の「古典的な」モジュラー形式のp進線形結合に近い古典的な p 進モジュラー形式と、特殊なケースとしてHida の通常のモジュラー形式を含む過剰収束p進モジュラー形式が含まれます。

セールは、 p進モジュラー形式を、整数係数を持つ古典的モジュラー形式のp進極限であるp進係数を持つ形式的冪級数として定義しました。これらの古典的モジュラー形式の重みは同じである必要はありません。実際、同じであれば、p進モジュラー形式は古典的モジュラー形式の線形結合にすぎません。一般に、p進モジュラー形式の重みはp進数であり、古典的モジュラー形式の重みの極限によって与えられます (実際、少し改良すると、重みはZ _p × Z /( p –1) Zになります)。

セールによって定義されたp進モジュラー形式は、カッツによって定義されたものの特殊なケースです。

重みkの古典的なモジュラー形式は、複素楕円曲線のペア ( E、ω) から複素数への正則 1 形式 ω への関数fとして大まかに考えることができ、 f ( E、λω) = λ ^{− k} f ( E、ω) となり、ある意味で正則であるなどの追加の条件を満たします。

Katz によるp進モジュラー形式の定義も同様であるが、E はp進数の有限拡大の整数環R _{0上のある代数}R ( pはべき零) 上の楕円曲線となり、 Eは超特異点ではない (アイゼンシュタイン級数E _{p –1が (} E ,ω)で可逆であるという意味)。p進モジュラー形式fは複素数ではなくRの値を取る。p進モジュラー形式は、古典的なモジュラー形式が正則でなければならないという条件に類似した他の条件も満たす必要がある。

過剰収束p進モジュラー形式は、カッツによって定義されたモジュラー形式に似ていますが、形式が楕円曲線のより大きな集合上で定義される必要がある点が異なります。大まかに言えば、形式上のアイゼンシュタイン級数 E _{k –1}の値は、もはや可逆である必要はなく、Rのより小さな要素になることができます。非公式には、モジュラー形式の級数は、この楕円曲線のより大きな集合上で収束するため、「過剰収束」という名前が付けられています。

• コールマン、ロバート F. (1996)、「古典的および過剰収束モジュラー形式」、Inventiones Mathematicae、124 (1): 215–241、Bibcode :1996InMat.124..215C、doi :10.1007/s002220050051、ISSN  0020-9910、MR  1369416、S2CID  7995580
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• 肥田春三 (2004)、志村多様体上のp進保型形式、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-20711-7、MR  2055355
• Katz, Nicholas M. (1973)、「モジュラースキームとモジュラー形式の p 進特性」、1 変数のモジュラー関数 III (Proc. Internat. Summer School、Univ. Antwerp、Antwerp、1972)、数学の講義ノート、vol. 350、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 69–190、doi :10.1007/978-3-540-37802-0_3、ISBN 978-3-540-06483-1、MR  0447119
• Serre、Jean-Pierre (1973)、「Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques」、1 変数のモジュラー関数、III (Proc. Internat. Summer School、Univ. Antwerp、1972)、Lecture Notes in Math.、vol. 350、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 191–268、doi :10.1007/978-3-540-37802-0_4、ISBN 978-3-540-06483-1、0404145